Accelerazioni relativistiche
Ho due astronavi, che in un sistema di riferimnto sono poste a distanza L, partono da ferme, e hanno entrambe una v(t) data da
$v(t)=\frac{100ct}{sqrt{c^2+10^4 t}}$
Si vuole conoscere l'accelerazione nel sistema di riferimento a riposto con l'astronave stessa.
La mia idea è scrivere la quadriaccelerazione, e poi trasformarla con Lorentz: la parte spziale del 4vettore ottenuto sarà proprio l'accelerazione nel sistema di riferimento solidale con l'astronave.
Solo che questo metodo è davvero molto contoso.
Ci sono alternative ragionevoli?
$v(t)=\frac{100ct}{sqrt{c^2+10^4 t}}$
Si vuole conoscere l'accelerazione nel sistema di riferimento a riposto con l'astronave stessa.
La mia idea è scrivere la quadriaccelerazione, e poi trasformarla con Lorentz: la parte spziale del 4vettore ottenuto sarà proprio l'accelerazione nel sistema di riferimento solidale con l'astronave.
Solo che questo metodo è davvero molto contoso.
Ci sono alternative ragionevoli?
Risposte
Francamente non ho ben capito quale è il tuo problema. Certamente le 4-accelerazioni si possono trasformare con le TL da un riferimento a un altro, anche se uno dei due è il riferimento inerziale di quiete momentanea. In fondo, si tratta di trasformare dei 4-vettori con regole note.
Permettimi però di metterti in guardia contro un possibile errore, che intravedo in quello che hai scritto, e che molti libri di RR non evidenziano abbastanza : la accelerazione propria (cioè misurata localmente in un riferimento inerziale di quiete momentanea : è l'accelerazione che un astronauta sente nella propria schiena) non è uguale alla parte spaziale del 4-vettore accelerazione trasformato secondo le TL dal riferimento coordinato a quello di quiete momentanea !
Siccome non mi va di scrivere molto, ti dò questo bel link a delle belle lezioni di RR di Leonard Susskind, dove questo fatto è adeguatamente dimostrato, in particolare nel caso della "accelerazione propria costante" .
http://www.lecture-notes.co.uk/susskind ... inematics/
Permettimi però di metterti in guardia contro un possibile errore, che intravedo in quello che hai scritto, e che molti libri di RR non evidenziano abbastanza : la accelerazione propria (cioè misurata localmente in un riferimento inerziale di quiete momentanea : è l'accelerazione che un astronauta sente nella propria schiena) non è uguale alla parte spaziale del 4-vettore accelerazione trasformato secondo le TL dal riferimento coordinato a quello di quiete momentanea !
Siccome non mi va di scrivere molto, ti dò questo bel link a delle belle lezioni di RR di Leonard Susskind, dove questo fatto è adeguatamente dimostrato, in particolare nel caso della "accelerazione propria costante" .
http://www.lecture-notes.co.uk/susskind ... inematics/
In ogni caso l'accelerazione che il tipo sente sulla propria schiena dovrebbe essere 0, perchè $a=(dv')/(d\tau)$ dove $\tau$ è il tempo proprio. v' infatti è sempre 0 nel sdR in quiete con il corpo, e quindi anche la variazione di v' è sempre 0..
Noneee..!
SE un riferimento è accelerato rispetto a un rif. coordinato, per poter trattare questa situazione in Relatività ristretta si definisce, in ciascun punto della linea di universo, un riferimento inerziale di quiete momentanea , che gli inglesi chiamano MCRF ( momentarily comoving reference frame) .
È un riferimento inerziale , che in quel punto e in quell'istante di tempo coordinato, (quindi anche di tempo proprio, basta trasformare secondo Lorentz) è tangente alla linea di universo stessa. Insomma , è il riferimento inerziale che in quel punto (evento, meglio) ha quella velocità . Rispetto a tale MCRF , il razzo accelerato ha una velocità che nell'istante successivo non è più nulla, è aumentata! Quindi questo significa che il razzo ha anche una accelerazione rispetto al MCRF , che è appunto l'accelerazione propria .
Ovviamente il MCRF cambia da punto a punto. Guardati questo , poi semmai ne riparliamo:
viewtopic.php?f=19&t=114276&hilit=razzo+relativistico#p749080
SE un riferimento è accelerato rispetto a un rif. coordinato, per poter trattare questa situazione in Relatività ristretta si definisce, in ciascun punto della linea di universo, un riferimento inerziale di quiete momentanea , che gli inglesi chiamano MCRF ( momentarily comoving reference frame) .
È un riferimento inerziale , che in quel punto e in quell'istante di tempo coordinato, (quindi anche di tempo proprio, basta trasformare secondo Lorentz) è tangente alla linea di universo stessa. Insomma , è il riferimento inerziale che in quel punto (evento, meglio) ha quella velocità . Rispetto a tale MCRF , il razzo accelerato ha una velocità che nell'istante successivo non è più nulla, è aumentata! Quindi questo significa che il razzo ha anche una accelerazione rispetto al MCRF , che è appunto l'accelerazione propria .
Ovviamente il MCRF cambia da punto a punto. Guardati questo , poi semmai ne riparliamo:
viewtopic.php?f=19&t=114276&hilit=razzo+relativistico#p749080
$v + dv = (v + du)/(1+(v*du)/c^2) =* v + du - (v^2*du)/c^2$
Questa? Come l'hai ottenuta?intendo il passaggio dove ho messo il puntino
Questa? Come l'hai ottenuta?intendo il passaggio dove ho messo il puntino
Ho risolto! E' uno sviluppo di Taylor! Lasciamo perdere!
Un ultima questione
Due astronavi si muovono in un sistema di rif con velocità iniziale nulla, ed entrambe soddisfano
$(d\vec p)/(dt) = K$
con p = quantità di moto relativistica e K costante.
Le due astronavi seguono la medesima legge, quindi in quel sistema di riferimento la loro distanza iniziale, pari a L, rimane invariata.
Ora osservo il tutto nel riferimento della prima astronave. Vorrei dimostra che la distanza relativa cambia in questo sistema di riferimento.
DIco la strategia che ho usato.
1). Conosco la x1(t), x2(t)=x1(t)+L, leggi orarie delle due astronavi nel sistema iniziale.
2). Mi metto nel sistema di riferimento movente a velocità $v(t)$, dove v è la velocità dell'astronave. In questo sistema di riferimento $x1'(t) = (c\tau, 0)$ dove $\tau= t/\gamma$ è il tempo proprio dell'astronave 1.
3). (cxt,x2(t)) è un 4vettore. Lo trasformo con Lorentz e in questo modo mi trovo x2'(t), ovvero la legge oraria della seconda astronave nel riferimento dove l'astronave 1 è a riposo.
4). Calcolo x2'(t) - x1'(t). Essa è la distanza tra le due astronavi nel nuovo sistema di riferimento. Lo calcolo per due valori di t diversi e noto che hanno un valore diverso.
Il punto che mi sembra sbagliato è il 4.Infatti sto calcolando le coordinate x1', x2' in due istanti di tempo uguali. Ma la sincronicità andrebbe persa nel nuovo sistema di riferimento. Più correttamentedovrei parametrizzare col tempo proprio, e scegliere due tempi propri diversi. Come fare?
Un ultima questione
Due astronavi si muovono in un sistema di rif con velocità iniziale nulla, ed entrambe soddisfano
$(d\vec p)/(dt) = K$
con p = quantità di moto relativistica e K costante.
Le due astronavi seguono la medesima legge, quindi in quel sistema di riferimento la loro distanza iniziale, pari a L, rimane invariata.
Ora osservo il tutto nel riferimento della prima astronave. Vorrei dimostra che la distanza relativa cambia in questo sistema di riferimento.
DIco la strategia che ho usato.
1). Conosco la x1(t), x2(t)=x1(t)+L, leggi orarie delle due astronavi nel sistema iniziale.
2). Mi metto nel sistema di riferimento movente a velocità $v(t)$, dove v è la velocità dell'astronave. In questo sistema di riferimento $x1'(t) = (c\tau, 0)$ dove $\tau= t/\gamma$ è il tempo proprio dell'astronave 1.
3). (cxt,x2(t)) è un 4vettore. Lo trasformo con Lorentz e in questo modo mi trovo x2'(t), ovvero la legge oraria della seconda astronave nel riferimento dove l'astronave 1 è a riposo.
4). Calcolo x2'(t) - x1'(t). Essa è la distanza tra le due astronavi nel nuovo sistema di riferimento. Lo calcolo per due valori di t diversi e noto che hanno un valore diverso.
Il punto che mi sembra sbagliato è il 4.Infatti sto calcolando le coordinate x1', x2' in due istanti di tempo uguali. Ma la sincronicità andrebbe persa nel nuovo sistema di riferimento. Più correttamentedovrei parametrizzare col tempo proprio, e scegliere due tempi propri diversi. Come fare?
Ho risolto! E' uno sviluppo di Taylor! Lasciamo perdere!
Mi sembrava strana , la tua domanda ! Ma sei arrivato da solo a capire che ho semplicemente scritto : $ 1/(1+x) =\approx (1-x) $ , dove $|x| <\<1$ , e nel moltiplicare ho trascurato l'ultimo termine, infinitesimo di ordine superiore.
Situazione chiarita.
Adesso però mi poni un problema, il famoso problema delle due astronavi. Supponiamo che partano con un programma di volo, stabilito a terra, perfettamente identico, che include una fase iniziale di accelerazione costante.
LE due astronavi , avendo stesse accelerazioni nel riferimento terrestre, conservano immutata la distanza iniziale , ma solo in tale riferimento. Non la conservano invece, se prendiamo una delle due astronavi come riferimento e da questa osserviamo l'altra astronave. Risulta che nel riferimento di quella di dietro l'astronave che sta davanti avanza di più, e naturalmente nel riferimento di quella davanti l'astronave di dietro rimane ancora più indietro.
Nel riferimento astronave ( davanti o indietro, non importa) la distanza tra le due subisce l'inverso della contrazione di Lorentz della distanza : la distanza "propria" aumenta. Se a questa distanza propria in aumento si applica , in qualsiasi momento, la contrazione di Lorentz rispetto al riferimento coordinato, si trova che la "distanza coordinata" è quel valore $L$ di partenza.
Questo non è altro che il famoso "paradosso delle astronavi di Bell " , su cui si può dire che la discussione sia ancora aperta.
E ne avevo già parlato a lungo anche in questo forum :
viewtopic.php?f=19&t=128935#p827995
hai di che divertirti, se vuoi. Nel disegno allegato al topic, le due iperboli in blu valgono solo fino ai punti in cui sussiste la fase di accelerazione. (Non sapevo come cancellare i tratti seguenti usando Geogebra, e li ho lasciati).
Il mio procedimento proposto prima è corretto?
Io direi di no. Infatti è ocme quando misuri la lunghezza di una sbarretta. Non puoi semplicemente quadritrasformare gli eventi (0 0) e (0 L), per poi calcolare la differenza tra le parti spaziali, perché i trasformati dei due eventi (0 0) e (0 L) non saranno,in generale, sincronizzati.
Quello che si deve fare è considerare la trasformazione al completo
$t' =\gamma(1-v/c^2 x)$
$x' = \gamma(x-vt)$
e imporre $t'=0$: per definizione la lunghezza della sbarretta è la distanza spaziale tra i due eventi presi allo stesso istante $t'$ nel nuovo sistema di riferimento, tale che la parte spaziale nel sistema a riposo è pari a L. Quindi va imposta nella trasformazione $t'=0$, e $x=L$.
Nel caso delle astronavi? Si potrebbe ragionare allo stesso modo per calcolare la loro distanza a un determinato istante?
Io direi di no. Infatti è ocme quando misuri la lunghezza di una sbarretta. Non puoi semplicemente quadritrasformare gli eventi (0 0) e (0 L), per poi calcolare la differenza tra le parti spaziali, perché i trasformati dei due eventi (0 0) e (0 L) non saranno,in generale, sincronizzati.
Quello che si deve fare è considerare la trasformazione al completo
$t' =\gamma(1-v/c^2 x)$
$x' = \gamma(x-vt)$
e imporre $t'=0$: per definizione la lunghezza della sbarretta è la distanza spaziale tra i due eventi presi allo stesso istante $t'$ nel nuovo sistema di riferimento, tale che la parte spaziale nel sistema a riposo è pari a L. Quindi va imposta nella trasformazione $t'=0$, e $x=L$.
Nel caso delle astronavi? Si potrebbe ragionare allo stesso modo per calcolare la loro distanza a un determinato istante?
Devo dirti che in tutta sincerità non ho ben capito quali sono i termini del tuo problema. Comunque, direi che si deve considerare la trasformazione di L. completa, cioè dell'intero 4-vettore. Ogni qualvolta consideri la trasformazione di L. di un intero 4-vettore, puoi star tranquillo che non sbagli. Poi naturalmente può essere nullo un tempo, o costante una lunghezza, dipende dal problema. Ma le TL non ti lasciano mai a piedi, sicuro.
Nel caso delle astronavi, se ricordo bene si ragiona allo stesso modo. Però ogni singola trasformazione vale per una certa retta di contemporaneità di una astronave, non per tutte, ovviamente, visto che la nave è accelerata e quindi i suoi assi del tempo proprio cambiano, così come le linee di contemporaneità. Il fattore $\gamma$ è variabile , non è costante ,se c'è una accelerazione.
Ti dirò che ho un po' dimenticato la parte matematica, dovrei rivederla…
Una cosa però deve essere ben chiara : le TL si applicano solo a trasformazioni tra riferimenti inerziali : questo deve essere bene chiaro, perché altrimenti potrebbe sembrare che Susskind, o qualche altro, dicesse che è possibile eseguire trasformazioni di 4-vettori tra riferimenti accelerati ! Non è vero questo! Susskind mostra come si trasforma la 4-accelerazione da un riferimento che chiama "statico" ( = rif. coordinato) ad un "riferimento inerziale di quiete momentanea" (MCRF) di un osservatore che è in moto accelerato rispetto al coordinato. Nè più né meno! Il MCRF s riferisce ad un ben preciso istante.
Ho voluto precisare , per evitare malintesi e cattive interpretazioni.
Ma tu questo lo avevi già capito,vero?
Qui ci sono altri due link a miei post :
viewtopic.php?f=19&t=146659#p921391
viewtopic.php?f=19&t=146862#p922573
Ma comunque leggiti la discussione sulle astronavi di Bell, e soprattutto leggi i link, tra i quali quello che più spicca per me è l'articolo di Vesselin Petkov.
Nel caso delle astronavi, se ricordo bene si ragiona allo stesso modo. Però ogni singola trasformazione vale per una certa retta di contemporaneità di una astronave, non per tutte, ovviamente, visto che la nave è accelerata e quindi i suoi assi del tempo proprio cambiano, così come le linee di contemporaneità. Il fattore $\gamma$ è variabile , non è costante ,se c'è una accelerazione.
Ti dirò che ho un po' dimenticato la parte matematica, dovrei rivederla…
Una cosa però deve essere ben chiara : le TL si applicano solo a trasformazioni tra riferimenti inerziali : questo deve essere bene chiaro, perché altrimenti potrebbe sembrare che Susskind, o qualche altro, dicesse che è possibile eseguire trasformazioni di 4-vettori tra riferimenti accelerati ! Non è vero questo! Susskind mostra come si trasforma la 4-accelerazione da un riferimento che chiama "statico" ( = rif. coordinato) ad un "riferimento inerziale di quiete momentanea" (MCRF) di un osservatore che è in moto accelerato rispetto al coordinato. Nè più né meno! Il MCRF s riferisce ad un ben preciso istante.
Ho voluto precisare , per evitare malintesi e cattive interpretazioni.
Ma tu questo lo avevi già capito,vero?
Qui ci sono altri due link a miei post :
viewtopic.php?f=19&t=146659#p921391
viewtopic.php?f=19&t=146862#p922573
Ma comunque leggiti la discussione sulle astronavi di Bell, e soprattutto leggi i link, tra i quali quello che più spicca per me è l'articolo di Vesselin Petkov.
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