Accelerazioni di cuneo e sfera a contatto
Buongiorno , spero mi sappiate aiutare col secondo punto di questo problema : " Una sfera omogenea di massa $ m $ è posta tra una parete verticale e un cuneo di massa $ M $ e angolo $ theta $ come in figura ( guardate l'esercizio 1 della traccia C in questo link posizionando però il sistema in maniera speculare a sinistra ; quindi la parete ad L è a sinistra , il cuneo ha la sua inclinazione di fronte alla parete stessa e tra la parete e il cuneo è posta la sfera )
https://www.unisalento.it/c/document_li ... upId=10122
Il cuneo è vincolato a traslare su un piano orizzontale e l'attrito tra tutti i corpi a contatto è trascurabile .
(a) Calcolare l'intensità della forza orizzontale $ F $ diretta verso sinistra ( data la spiegazione di come è impostato il sistema ) da applicare al cuneo affinché la sfera e il cuneo restino fermi . Ad un certo istante viene tolta la forza $ F $ e i corpi sono liberi di muoversi :
(b) calcolare le accelerazioni della sfera e del cuneo fino a quando i corpi restano in contatto"
Per il secondo punto ho scritto la 2nda di Newton per il cuneo lungo l'orizzontale $ Nsentheta=MA $ detta $ N $ la reazione normale tra cuneo e sfera e per la sfera lungo la verticale $ mg-Ncostheta=ma $ . Ora devo trovare una relazione tra le accelerazioni e ho avuto questa idea : se chiamo $ \Deltax $ lo spostamento orizzontale del cuneo e $ \Deltay $ quello verticale della sfera allora risulta $ \Deltay=\Deltax tg theta $ e derivando due volte troverei la relazione tra le accelerazioni dei due corpi ma effettuando i calcoli viene il tutto molto complesso ... mi chiedevo se ci fosse una via di risoluzione più semplice o eventualmente corretta nel caso in cui la mia non andasse bene . Mi fareste un grande favore a chiarirmi le idee
Grazie mille per l'aiuto
P.s. l'angolo $ theta $ non è di 45° come riportato nel file ma generico . Scusate ma ho il software che carica le immagini quando dice lui ...
https://www.unisalento.it/c/document_li ... upId=10122
Il cuneo è vincolato a traslare su un piano orizzontale e l'attrito tra tutti i corpi a contatto è trascurabile .
(a) Calcolare l'intensità della forza orizzontale $ F $ diretta verso sinistra ( data la spiegazione di come è impostato il sistema ) da applicare al cuneo affinché la sfera e il cuneo restino fermi . Ad un certo istante viene tolta la forza $ F $ e i corpi sono liberi di muoversi :
(b) calcolare le accelerazioni della sfera e del cuneo fino a quando i corpi restano in contatto"
Per il secondo punto ho scritto la 2nda di Newton per il cuneo lungo l'orizzontale $ Nsentheta=MA $ detta $ N $ la reazione normale tra cuneo e sfera e per la sfera lungo la verticale $ mg-Ncostheta=ma $ . Ora devo trovare una relazione tra le accelerazioni e ho avuto questa idea : se chiamo $ \Deltax $ lo spostamento orizzontale del cuneo e $ \Deltay $ quello verticale della sfera allora risulta $ \Deltay=\Deltax tg theta $ e derivando due volte troverei la relazione tra le accelerazioni dei due corpi ma effettuando i calcoli viene il tutto molto complesso ... mi chiedevo se ci fosse una via di risoluzione più semplice o eventualmente corretta nel caso in cui la mia non andasse bene . Mi fareste un grande favore a chiarirmi le idee
Grazie mille per l'aiuto
P.s. l'angolo $ theta $ non è di 45° come riportato nel file ma generico . Scusate ma ho il software che carica le immagini quando dice lui ...
Risposte
Il link porta al sito dell'università del Salento, non all'esercizio.
Hai ragione , me ne sono accorto ora , vedo di rimediare
Ecco l'immagine , sono riuscito a caricarla
Il procedimento è sempre lo stesso.
Libera i due corpi , e disegna le forze applicate a ciascuno, peso e reazioni vincolari, sia interne che esterne.
Scrivi,per ognuno, la 2^ equazione della dinamica in forma vettoriale.
Proietta le eq vettoriali sugli assi , che hai già, tenendo conto dei vincoli cinematici . Il Cuneo avrà moto accelerato solo lungo x, la sfera avrà moto accelerato solo lungo y .
Forza e coraggio!
Libera i due corpi , e disegna le forze applicate a ciascuno, peso e reazioni vincolari, sia interne che esterne.
Scrivi,per ognuno, la 2^ equazione della dinamica in forma vettoriale.
Proietta le eq vettoriali sugli assi , che hai già, tenendo conto dei vincoli cinematici . Il Cuneo avrà moto accelerato solo lungo x, la sfera avrà moto accelerato solo lungo y .
Forza e coraggio!
Ho svolto l'esercizio come sopra ma non so se la relazione tra le accelerazione è corretta . Tutto il resto mi sembra giusto
LA relazione cinematica tra le accelerazioni da te ricavata è corretta . Indicando con $A$ il modulo dell'accelerazione del cuneo sul piano orizzontale, e con $a$ il modulo dell'accelerazione verticale della sfera, si ha:
$a = A tg\theta$
Questa è una prima equazione da mettere in conto. Poi, detta $vecR$ la reazione della parete verticale sulla sfera , $mvecg$ il peso della sfera, e $vecN$ la reazione del cuneo sulla sfera , dal diagramma di corpo libero della sfera si ha la 2º eq della dinamica in forma vettoriale :
$ m veca = mvecg + vecR + vecN$ , che, proiettata sui due assi , dà luogo a due equazioni scalari :
$ 0 = R-Nsen\theta$ (su asse $x$)
$-ma = -mg +Ncos\theta$ ( su asse $y$)
Analogamente per il cuneo , su cui agiscono le forze $-vecN$ , $Mvecg$ , e $vecV$ (= reazione del piano orizzontale sul cuneo) , si ha :
$MvecA = Mvecg + vecV - vecN$
la quale ,proiettata sui due assi , dà :
$MA = Nsen\theta$ (sull'asse $x$ )
$0 = -Mg +V-Ncos\theta $ ( sull'asse $y$)
Hai cinque incognite : $ R,N,a,A,V$ , e cinque equazioni da risolvere .
Da notare un punto. Siccome qui le accelerazioni sono entrambe quelle assolute, cioè riferite al riferimento fisso parete+piano , non compare alcuna accelerazione della sfera relativa al piano , e quindi non va messa in conto la forza di trascinamento, come in altri casi in cui il cuneo funzionava da riferimento di trascinamento rispetto al corpo che scivolava su di esso .
Ciao.
$a = A tg\theta$
Questa è una prima equazione da mettere in conto. Poi, detta $vecR$ la reazione della parete verticale sulla sfera , $mvecg$ il peso della sfera, e $vecN$ la reazione del cuneo sulla sfera , dal diagramma di corpo libero della sfera si ha la 2º eq della dinamica in forma vettoriale :
$ m veca = mvecg + vecR + vecN$ , che, proiettata sui due assi , dà luogo a due equazioni scalari :
$ 0 = R-Nsen\theta$ (su asse $x$)
$-ma = -mg +Ncos\theta$ ( su asse $y$)
Analogamente per il cuneo , su cui agiscono le forze $-vecN$ , $Mvecg$ , e $vecV$ (= reazione del piano orizzontale sul cuneo) , si ha :
$MvecA = Mvecg + vecV - vecN$
la quale ,proiettata sui due assi , dà :
$MA = Nsen\theta$ (sull'asse $x$ )
$0 = -Mg +V-Ncos\theta $ ( sull'asse $y$)
Hai cinque incognite : $ R,N,a,A,V$ , e cinque equazioni da risolvere .
Da notare un punto. Siccome qui le accelerazioni sono entrambe quelle assolute, cioè riferite al riferimento fisso parete+piano , non compare alcuna accelerazione della sfera relativa al piano , e quindi non va messa in conto la forza di trascinamento, come in altri casi in cui il cuneo funzionava da riferimento di trascinamento rispetto al corpo che scivolava su di esso .
Ciao.
Ho capito tutto , ti ringrazio dell'aiuto , buon pomeriggio
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