Accelerazione Venere rispetto a Terra
Ciao, amici! Un esercizio del mio testo di fisica propone di calcolare l'accelerazione di Venere rispetto alla Terra quando si trovano rispettivamente dalla stessa parte e dalla parte opposta rispetto al sole. Di entrambi i pianeti sono dati il raggio orbitale \(R_T=1.5\cdot 10^{11}\text{ m}\) e \(R_V=1.1\cdot 10^{11}\text{ m}\) e il periodo orbitale, che per Venere è di $0.61$ anni, da cui si ricava facilmente l'accelerazione centripeta $a_{TS}$ e $a_{VS}$ di entrambi i pianeti rispetto al Sole.
In maniera naïve, dato che il testo ha finora solo accennato all'accelerazione relativa di un punto rispetto ad un sistema in moto rispetto ad un altro, potrebbe venire da dire che l'accelerazione di Venere rispetto alla Terra, usando la consueta notazione con i pedici $PQ$ ad indicare di $P$ rispetto a $Q$, sia \(\mathbf{a}_{VT}=\mathbf{a}_{VS}-\mathbf{a}_{TS}\), di modulo $a_{VS}+a_{TS}$ quando sono opposti e \(|a_{VS}-a_{TS}|\) quando sono dalla stessa parte, ma, in realtà, so che l'accelerazione di un generico punto $P$ rispetto ad un riferimento $A$, rispetto al quale il riferimento $B$ è in movimento, si può esprimere come \[\mathbf{a}_{PA}=\mathbf{a}_{PB}+\Big(\frac{d\boldsymbol{\omega}_{BA}}{dt} \Big)_A\times\mathbf{r}_{PB}+\Big(\frac{d^2(\mathbf{r}_{PA}-\mathbf{r}_{PB})}{dt^2} \Big)_A+\boldsymbol{\omega}_{BA}\times(\boldsymbol{\omega}_{BA}\times\mathbf{r}_{PB}) +2\boldsymbol{\omega}_{BA}\times\mathbf{v}_{PB}\]dove \(\mathbf{r}_{PQ}\) è la posizione di $P$ rispetto a $Q$, $\mathbf{a}$ e $\mathbf{v}$ accelerazione e velocità, e \(\boldsymbol{\omega}\) la velocità angolare, ma mi ingarbuglio nell'applicare questa formula al moto dei due pianeti.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come si opera in questo caso?
$\infty$ grazie a tutti!
In maniera naïve, dato che il testo ha finora solo accennato all'accelerazione relativa di un punto rispetto ad un sistema in moto rispetto ad un altro, potrebbe venire da dire che l'accelerazione di Venere rispetto alla Terra, usando la consueta notazione con i pedici $PQ$ ad indicare di $P$ rispetto a $Q$, sia \(\mathbf{a}_{VT}=\mathbf{a}_{VS}-\mathbf{a}_{TS}\), di modulo $a_{VS}+a_{TS}$ quando sono opposti e \(|a_{VS}-a_{TS}|\) quando sono dalla stessa parte, ma, in realtà, so che l'accelerazione di un generico punto $P$ rispetto ad un riferimento $A$, rispetto al quale il riferimento $B$ è in movimento, si può esprimere come \[\mathbf{a}_{PA}=\mathbf{a}_{PB}+\Big(\frac{d\boldsymbol{\omega}_{BA}}{dt} \Big)_A\times\mathbf{r}_{PB}+\Big(\frac{d^2(\mathbf{r}_{PA}-\mathbf{r}_{PB})}{dt^2} \Big)_A+\boldsymbol{\omega}_{BA}\times(\boldsymbol{\omega}_{BA}\times\mathbf{r}_{PB}) +2\boldsymbol{\omega}_{BA}\times\mathbf{v}_{PB}\]dove \(\mathbf{r}_{PQ}\) è la posizione di $P$ rispetto a $Q$, $\mathbf{a}$ e $\mathbf{v}$ accelerazione e velocità, e \(\boldsymbol{\omega}\) la velocità angolare, ma mi ingarbuglio nell'applicare questa formula al moto dei due pianeti.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come si opera in questo caso?
$\infty$ grazie a tutti!
Risposte
Se per "accelerazione di Venere rispetto alla Terra" si intendesse la derivata seconda rispetto al tempo della distanza fra i due pianeti, si potrebbe procedere agevolmente...
Ho pensato questo, e mi aspetto commenti e correzioni dagli esperti : Arturo, Faussone, chiunque .
Considera S , T , V come puntiformi .
Inizialmente hai il "sistema eliocentrico" , con S nell' origine di un riferimento avente assi "fissi" $xy$, rivolti verso le stelle fisse, giacenti nel piano dell'eclittica. Nello stesso piano si muovono, per semplicità, sia T che V , di moto circolare uniforme, entrambi in senso antiorario se osservati dal polo Nord dell'eclittica : nessun problema a ricavare le grandezze cinematiche del moto.
Nella seconda ipotesi , hai il "sistema geocentrico" : ora è la Terra ad essere "immobile" ed avere assi "fissi" orientati verso le stelle fisse. Nel piano $(T,x,y)$ fisso, c'è un riferimento mobile $(T,x' ,y ' )$ avente asse $x'$ che passa per il Sole. Il riferimento mobile ruota attorno all'asse $z$ del fisso, con velocità angolare nota. Nel riferimento mobile, che funziona da riferimento di "trascinamento" , il pianeta V è dotato di moto "relativo" ad S , cioè descrive una circonferenza attorno a S.
Per cui, la velocità assoluta di V rispetto alla T è facilmente determinabile : $vecv_a = vecv_r + vecv_(tr)$
Per quanto riguarda le accelerazioni, è noto che : $veca_a = veca_r + veca_(tr) + veca_c$
L'accelerazione relativa di V rispetto a S è centripeta nel riferimento del Sole. L'accelerazione di trascinamento è quella centrifuga di V rispetto alla Terra, che è minima alla congiunzione e massima all'opposizione di V rispetto a T.
C'è anche, secondo me, l'accelerazione complementare: nei due punti "congiunzione" e "opposizione" la velocità relativa è perpendicolare al raggio , e quindi $veca_c = 2\vec\omegaxxvecv_r$ è radiale, in congiunzione è diretta verso l'esterno, in opposizione è diretta verso l'interno.
Ci vorrebbe un disegno, ma non ho tempo di farlo. C'è qualche volenteroso ?
Adesso correggete pure.
Considera S , T , V come puntiformi .
Inizialmente hai il "sistema eliocentrico" , con S nell' origine di un riferimento avente assi "fissi" $xy$, rivolti verso le stelle fisse, giacenti nel piano dell'eclittica. Nello stesso piano si muovono, per semplicità, sia T che V , di moto circolare uniforme, entrambi in senso antiorario se osservati dal polo Nord dell'eclittica : nessun problema a ricavare le grandezze cinematiche del moto.
Nella seconda ipotesi , hai il "sistema geocentrico" : ora è la Terra ad essere "immobile" ed avere assi "fissi" orientati verso le stelle fisse. Nel piano $(T,x,y)$ fisso, c'è un riferimento mobile $(T,x' ,y ' )$ avente asse $x'$ che passa per il Sole. Il riferimento mobile ruota attorno all'asse $z$ del fisso, con velocità angolare nota. Nel riferimento mobile, che funziona da riferimento di "trascinamento" , il pianeta V è dotato di moto "relativo" ad S , cioè descrive una circonferenza attorno a S.
Per cui, la velocità assoluta di V rispetto alla T è facilmente determinabile : $vecv_a = vecv_r + vecv_(tr)$
Per quanto riguarda le accelerazioni, è noto che : $veca_a = veca_r + veca_(tr) + veca_c$
L'accelerazione relativa di V rispetto a S è centripeta nel riferimento del Sole. L'accelerazione di trascinamento è quella centrifuga di V rispetto alla Terra, che è minima alla congiunzione e massima all'opposizione di V rispetto a T.
C'è anche, secondo me, l'accelerazione complementare: nei due punti "congiunzione" e "opposizione" la velocità relativa è perpendicolare al raggio , e quindi $veca_c = 2\vec\omegaxxvecv_r$ è radiale, in congiunzione è diretta verso l'esterno, in opposizione è diretta verso l'interno.
Ci vorrebbe un disegno, ma non ho tempo di farlo. C'è qualche volenteroso ?
Adesso correggete pure.
Così la vedo dura... rilancio la mia idea di accelerazione scalare che risolve in pochi minuti 
Io immagino una situazione come in questa figura, con deferente ed epiciclo :
http://www.divini.net/benedetti/StoriaA ... ge022.html
non dovrebbe essere difficile calcolare le accelerazioni in due punti soltanto, il più vicino e il più lontano dalla terra:
http://it.wikipedia.org/wiki/Epiciclo_e ... planetarie
http://www.divini.net/benedetti/StoriaA ... ge022.html
non dovrebbe essere difficile calcolare le accelerazioni in due punti soltanto, il più vicino e il più lontano dalla terra:
http://it.wikipedia.org/wiki/Epiciclo_e ... planetarie
Io penso che il problema chieda l'accelerazione del centro di Venere rispetto al centro della Terra, (quindi prescindendo dal moto di rotazione della Terra su se stessa, altrimenti quanto detto dopo resta valido nel metodo, ma i conti sarebbero più lunghi). Pertanto calcolerei prima la posizione di Venere rispetto alla Terra in funzione del tempo, a partire dalle posizioni richieste, come differenza vettoriale tra posizione di Venere rispetto al Sole e posizione della Terra rispetto al Sole, quindi deriverei componente per componente due volte rispetto al tempo. Insomma la vedo come Arturo. 
Inutile fatica stare a scrivere le varie componenti dell'accelerazione (centripeta, di trascinamento, di Coriolis ecc) per sottrarle all'accelerazione assoluta.
Inutile fatica stare a scrivere le varie componenti dell'accelerazione (centripeta, di trascinamento, di Coriolis ecc) per sottrarle all'accelerazione assoluta.
Ho assunto S,T e V puntiformi, quindi niente rotazione propria.
Il riferimento assoluto da me assunto è quello della Terra.
L'accelerazione centripeta di V rispetto a S è facile da calcolare , o no ? Pure quella di trascinamento di S rispetto a T, credo.
Proverò a fare due conti, non mi sembra impossibile.
Il riferimento assoluto da me assunto è quello della Terra.
L'accelerazione centripeta di V rispetto a S è facile da calcolare , o no ? Pure quella di trascinamento di S rispetto a T, credo.
Proverò a fare due conti, non mi sembra impossibile.
Ognuno può prendere la strada che preferisce 
Questo mi fa venir in mente una tipica metafora del mio professore del liceo: l'autostrada è la via più semplice, ma spesso non è la più corta, però con la strada più corta puoi perderti! ..anche se in questo caso addirittura la via più corta, se non vedo male, credo sia proprio l'autostrada!
Questo mi fa venir in mente una tipica metafora del mio professore del liceo: l'autostrada è la via più semplice, ma spesso non è la più corta, però con la strada più corta puoi perderti! ..anche se in questo caso addirittura la via più corta, se non vedo male, credo sia proprio l'autostrada!
Però se prendi l'autostrada devi pagare il pedaggio….e se rimani imbottigliato, c'è rischio che fai tardi…
Comunque, allora, paga questo pedaggio e fa' conti...
Comunque, allora, paga questo pedaggio e fa' conti...
$\infty$ grazie a tutti e tre, ragazzi!!!
Quanto ai due metodi proposti da navigatore e Faussone, direi che mi piacerebbe utilizzare il calcolo delle tre "componenti" \(\vec{a}_r\), \(\vec{a}_r\) e \(\vec{a}_r\) proprio per capire come "maneggiare" questi concetti e strumenti matematici, ma, mentre direi proprio che \(\big(\frac{d\boldsymbol{\omega}_{ST}}{dt}\big)_T=\big(\frac{d\boldsymbol{\omega}_{TS}}{dt}\big)_S \), usando la notazione da me usata in precedenza con $A=T$ e $B=S$, sia nulla perché la velocità angolare della Terra rispetto al Sole si assume costante nel nostro modello semplificato, però ho dei problemi ad identificare, a calcolare \(\big(\frac{d^2(\mathbf{r}_{VT}-\mathbf{r}_{VS})}{dt^2} \big)_T\), che direi sia la derivata seconda della posizione del riferimento del Sole rispetto a quello della Terra, \(\boldsymbol{\omega}_{ST}\times(\boldsymbol{\omega}_{ST}\times\mathbf{r}_{VS})\) e l'accelerazione di Coriolis \(2\boldsymbol{\omega}_{ST}\times\mathbf{v}_{VS}\)...
"anonymous_ad4c4b":Direi che si intenda la derivata seconda rispetto al tempo della posizione del centro di Venere rispetto al centro della Terra, trascurando la rotazione intorno al proprio asse dei due pianeti.
Se per "accelerazione di Venere rispetto alla Terra" si intendesse la derivata seconda rispetto al tempo della distanza fra i due pianeti, si potrebbe procedere agevolmente...
Quanto ai due metodi proposti da navigatore e Faussone, direi che mi piacerebbe utilizzare il calcolo delle tre "componenti" \(\vec{a}_r\), \(\vec{a}_r\) e \(\vec{a}_r\) proprio per capire come "maneggiare" questi concetti e strumenti matematici, ma, mentre direi proprio che \(\big(\frac{d\boldsymbol{\omega}_{ST}}{dt}\big)_T=\big(\frac{d\boldsymbol{\omega}_{TS}}{dt}\big)_S \), usando la notazione da me usata in precedenza con $A=T$ e $B=S$, sia nulla perché la velocità angolare della Terra rispetto al Sole si assume costante nel nostro modello semplificato, però ho dei problemi ad identificare, a calcolare \(\big(\frac{d^2(\mathbf{r}_{VT}-\mathbf{r}_{VS})}{dt^2} \big)_T\), che direi sia la derivata seconda della posizione del riferimento del Sole rispetto a quello della Terra, \(\boldsymbol{\omega}_{ST}\times(\boldsymbol{\omega}_{ST}\times\mathbf{r}_{VS})\) e l'accelerazione di Coriolis \(2\boldsymbol{\omega}_{ST}\times\mathbf{v}_{VS}\)...
" Direi che si intenda la derivata seconda rispetto al tempo della posizione del centro di Venere rispetto al centro della Terra".
La derivata seconda rispetto al tempo della posizione di A rispetto a B è la derivata seconda ripetto al tempo del vettore AB. Allora il mio metodo fornisce in pochi minuti il modulo di tale accelerazione. Se serve il vettore accelerazione completo, si complica di poco.
La derivata seconda rispetto al tempo della posizione di A rispetto a B è la derivata seconda ripetto al tempo del vettore AB. Allora il mio metodo fornisce in pochi minuti il modulo di tale accelerazione. Se serve il vettore accelerazione completo, si complica di poco.
Allora.
$A=(r_1 cos(\omega_1 t + \varphi_1), r_1 sin(\omega_1 t + \varphi_1))$
$B=(r_2 cos(\omega_2 t + \varphi_2), r_2 sin(\omega_2 t + \varphi_2))$.
L'accelerazione relativa (in modulo) è allora:
$a=\frac{d}{dt^2} ||A-B||$.
$A=(r_1 cos(\omega_1 t + \varphi_1), r_1 sin(\omega_1 t + \varphi_1))$
$B=(r_2 cos(\omega_2 t + \varphi_2), r_2 sin(\omega_2 t + \varphi_2))$.
L'accelerazione relativa (in modulo) è allora:
$a=\frac{d}{dt^2} ||A-B||$.
@anonymous_ad4c4b: $\infty$ grazie! Già, l'espressione della traiettoria di Venere rispetto alla Terra, ponendone il centro nell'origine, è\[\mathbf{r}_{VT}(t)=R_T\begin{pmatrix}\cos(\omega_{ST}t+\varphi_1)\\\sin(\omega_{ST}t+\varphi_1)\end{pmatrix} + R_V\begin{pmatrix}\cos(\omega_{VS}t+\varphi_2)\\\sin(\omega_{VS}t+\varphi_2)\end{pmatrix}\]e quindi\[\mathbf{r}_{VT}''(t)=-R_T\omega_{ST}^2\begin{pmatrix}\cos(\omega_{ST}t+\varphi_1)\\\sin(\omega_{ST}t+\varphi_1)\end{pmatrix} - R_V\omega_{VS}^2\begin{pmatrix}\cos(\omega_{VS}t+\varphi_2)\\\sin(\omega_{VS}t+\varphi_2)\end{pmatrix}\]che si trova facilmente tenendo conto che $\omega_{ST}=\omega_{TS}$ e prendendo \(\varphi_1=0=\varphi_2\) considerando l'allineamento opposto rispetto al Sole per $t=0$, e prendendo \(\varphi_1=0\) e\(\varphi_2=\pi\) considerando l'allineamento dalla stessa parte rispetto al Sole per $t=0$, che forniscono rispettivamente accelerazione \((-R_T\omega_{TS}^2- R_V\omega_{VS}^2,0)\) e \((-R_T\omega_{TS}^2+ R_V\omega_{VS}^2,0)\).
@navigatore e a chiunque altro voglia intervenire: sarei comunque $\infty$-mente grato a chiunque mi aiutasse a ragionare su come valutare l'accelerazione di trascinamento e quella di Coriolis...
Grazie di cuore ancora a tutti!
@navigatore e a chiunque altro voglia intervenire: sarei comunque $\infty$-mente grato a chiunque mi aiutasse a ragionare su come valutare l'accelerazione di trascinamento e quella di Coriolis...
Grazie di cuore ancora a tutti!
Perchè sommi i due raggi vettori? A me verrebbe di sottrarli...
Ponendo nell'origine il Sole, l'orbita di Venere direi che sia descritta dalla curva\[\alpha(t)=R_V\begin{pmatrix}\cos(\omega_{VS}t+\varphi_2)\\\sin(\omega_{VS}t+\varphi_2)\end{pmatrix}\]giusto? Ponendo invece la Terra nell'origine, l'orbita geocentrica del Sole è descritta, mi pare, da\[\mathbf{r}_{ST}(t)=R_T\begin{pmatrix}\cos(\omega_{TS}t+\varphi_1)\\\sin(\omega_{TS}t+\varphi_1)\end{pmatrix} \]giusto? Quindi traslerei la circonferenza \(\alpha\) in modo che abbia centro in \(\mathbf{r}_{ST}\) sommando le due curve. Dove sbaglio? Grazie ancora!!!
Rispetto al Sole $r_{TV}=r_V-r_T$. Io mi fermerei qui e deriverei direttamente...
La situazione che immaginavo è con l'origine nel pallido puntino blu:
Comunque, derivando rispetto a $t$ due volte\[R_V\begin{pmatrix}\cos(\omega_{VS}t+\varphi_2)\\\sin(\omega_{VS}t+\varphi_2)\end{pmatrix}-R_T\begin{pmatrix}\cos(\omega_{ST}t+\varphi_1)\\\sin(\omega_{ST}t+\varphi_1)\end{pmatrix}\]e scegliendo rispettivamente \(\varphi_1=\pi\), \(\varphi_2=0\) in modo che per $t=0$ i due pianeti siano da parti opposte rispetto al Sole (nell'ordine Terra-Sole-Venere procedendo nel verso posivito dell'asse $x$, come nel caso analogo da me considerato con la Terra nell'origine) e \(\varphi_1=\pi=\varphi_2\) in modo che per $t=0$ i pianeti siano dalla stessa parte del Sole (Sole-Venere-Terra, come avevo fatto nell'analoga situazione con la Terra nell'origine), ottengo lo stesso risultato: \( (-R_T\omega_{TS}^2- R_V\omega_{VS}^2,0) \) e \( (-R_T\omega_{TS}^2+ R_V\omega_{VS}^2,0) \) nei due rispettivi casi.
Quindi, ponendo il Sole nell'origine, ho ottenuto la stessa \(\mathbf{a}_{VT}\). Nonostante questo, dato che il riferimento in cui è posta la Terra è in moto rispetto al Sole, porre l'origine del riferimento cartesiano al di fuori (nel nostro caso nel riferimento solidale al Sole) di quello in cui sta il corpo (nel nostro caso la Terra) rispetto a cui si vuole calcolare l'accelerazione di un altro corpo (Venere in questo caso), non potrebbe in generale falsare i calcoli? Perdonami se dico scemenze...
Comunque, derivando rispetto a $t$ due volte\[R_V\begin{pmatrix}\cos(\omega_{VS}t+\varphi_2)\\\sin(\omega_{VS}t+\varphi_2)\end{pmatrix}-R_T\begin{pmatrix}\cos(\omega_{ST}t+\varphi_1)\\\sin(\omega_{ST}t+\varphi_1)\end{pmatrix}\]e scegliendo rispettivamente \(\varphi_1=\pi\), \(\varphi_2=0\) in modo che per $t=0$ i due pianeti siano da parti opposte rispetto al Sole (nell'ordine Terra-Sole-Venere procedendo nel verso posivito dell'asse $x$, come nel caso analogo da me considerato con la Terra nell'origine) e \(\varphi_1=\pi=\varphi_2\) in modo che per $t=0$ i pianeti siano dalla stessa parte del Sole (Sole-Venere-Terra, come avevo fatto nell'analoga situazione con la Terra nell'origine), ottengo lo stesso risultato: \( (-R_T\omega_{TS}^2- R_V\omega_{VS}^2,0) \) e \( (-R_T\omega_{TS}^2+ R_V\omega_{VS}^2,0) \) nei due rispettivi casi.
Quindi, ponendo il Sole nell'origine, ho ottenuto la stessa \(\mathbf{a}_{VT}\). Nonostante questo, dato che il riferimento in cui è posta la Terra è in moto rispetto al Sole, porre l'origine del riferimento cartesiano al di fuori (nel nostro caso nel riferimento solidale al Sole) di quello in cui sta il corpo (nel nostro caso la Terra) rispetto a cui si vuole calcolare l'accelerazione di un altro corpo (Venere in questo caso), non potrebbe in generale falsare i calcoli? Perdonami se dico scemenze...
Secondo me, visto che i due pianeti sono assimilati a due punti, porre il sistema di riferimento centrato sulla Terra non va bene. Gli assi come li orienteresti? La cosa sarebbe invece essenziale se la Terra la considerassi come una sfera rotante...
Ho fatto questo disegnino a mano, chiedo scusa .
Io farei così : $(Txy)$ è fisso , mentre $(Tx'y') $ è rotante con asse x' passante per il Sole.
Io farei così : $(Txy)$ è fisso , mentre $(Tx'y') $ è rotante con asse x' passante per il Sole.
Ok. L'unica cosa che conta è quel triangolo di vettori.
"anonymous_ad4c4b":Avevo in mente proprio la situazione disegnata da navigatore, che ringrazio per aver postato il suo schema, scusandomi di non averlo fatto io, ma non ho lo scanner, il mio telefonino non fa fotografie e non mi sono ancora preso il tempo di imparare ad usare Geogebra o simili...
Gli assi come li orienteresti?
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