Accelerazione sempre scomponibile in tangenziale e radiale?

[DavideGenova1]

Se la velocità \(v=\|\mathbf{v}\|\) di un punto non è mai nulla mi è chiaro che l'accelerazione può essere scritta come \[\mathbf{a}=\frac{d(v\mathbf{t})}{dt}=\frac{dv}{dt}\mathbf{t}+v\frac{d\mathbf{t}}{dt}\]dove \(\mathbf{t}:=v^{-1}\mathbf{v}\) è un versore, tangente alla traiettoria, e quindi tale che \(\frac{d\mathbf{t}}{dt}\) sia normale ad essa.

Trovo la scomposizione della velocità in componente tangenziale e radiale un po' dappertutto, sia nel mio libro di testo sia in moltissime risposte date su questo forum, senza però che si faccia esplicitamente cenno alla necessità che $v$ sia non nulla al tempo in cui si calcola.
Esiste quindi un modo di esprimere un versore tangente \(\mathbf{t}(t_0)\), per un certo istante $t_0$, anche quando $v(t_0)=0$ oppure no?

Ho supposto che in fisica si ipotizzi sempre che ogni traiettoria sia parametrizzabile come una curva \(\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3\) tale che \(\forall t\in[a,b]\quad\|\mathbf{r}'(t)\|\ne 0\) (è così o no?:?: ), in modo che sia sempre possibile ottenere un versore tangente \(\big\|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\big\|^{-1}\frac{d\mathbf{r}}{dt}\), ma anche in tal caso avrei dei problemi a scrivere $\mathbf{a}$ perché \(\big\|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\big\|^{-1}\frac{d\mathbf{r}}{dt}\) avrebbe sempre un suo verso di percorrenza, mentre \(\mathbf{v}\) sarebbe nulla al tempo $t_0$...

Qualcuno saprebbe spiegarmi se tale scomposizione vale anche se la velocità è istantaneamente nulle e come, in tal caso, si definisce un opportuno versore tangente?
$\infty$ grazie a tutti!

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Per quello che ricordo io, quando si definisce una curva $gamma$ del tipo

$gamma: I rightarrow RR^n$, con $I sube RR$ (dove $I$ è un intervallo)

è richiesta, proprio a livello di definizione, che valga la condizione $gamma'(t)!=0 AA t in I°$ ($I°$ sarebbe il sottoinsieme di $I$ su cui la curva risulti derivabile), quindi è necessaria la derivabilità di $gamma(t)$ (di solito almeno fino al secondo ordine, per poter parlare di accelerazione, anche se, naturalmente, la migliore condizione sarebbe quella di avere $gamma in C^{oo}$).

Almeno che io sappia...

Saluti.

[Sk_Anonymous]

Davide,

Guarda l'espressione di $veca$ che hai scritto. Chi ti dice che se, in un certo istante, $v=0$ , sia nulla anche la derivata prima?
Se il punto descrive una curva regolare, può essere $v=0$ , ma non anche $(dv)/(dt) = 0 $ . Prendi il moto circolare uniforme.

Se hai $v=0$ e $(dv)/(dt) = 0 $ , hai un moto rettilineo uniforme. Ci vuole una forza per cambiare almeno la direzione di $vecv$ , o no?

[DavideGenova1]

"alessandro8":è richiesta, proprio a livello di definizione, che valga la condizione $gamma'(t)!=0 AA t in I°$

Che esista per $\gamma$ una parametrizzazione \(\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3\) per cui valga \(\mathbf{r}\in C^1[a,b]\) e \(\forall t\in[a,b]\quad\|\mathbf{r}'(t)\|\ne 0\) è quella che conosco come definizione di una curva regolare $\gamma$.
Tuttavia, non credo -o mi sbaglio? - che in fisica si imponga che, nel percorrere una curva durante l'intervallo di tempo $[a,b]$ valga sempre \(\forall t\in[a,b]\quad\|\mathbf{v}(t)\|\ne 0\), altrimenti non saprei come si possa derivare il teorema energia-lavoro quando la velocità si annulla (è comune vedere applicato il teorema, secondo cui il lavoro vale \(W=\frac{1}{2}m\|\mathbf v(b)\|^2-\frac{1}{2}m\|\mathbf v(a)\|^2\), per esempio con \(\|\mathbf v(b)\|=0\) o \(\|\mathbf v(a)\|=0\)). A proposito di tale teorema, mi è stato detto qui che non è necessario imporre che \(\forall t\in[a,b]\quad\|\mathbf{v}(t)\|\ne 0\).

"navigatore":Guarda l'espressione di $veca$ che hai scritto. Chi ti dice che se, in un certo istante, $v=0$ , sia nulla anche la derivata prima?

Assolutamente no, ma non è questo il mio dubbio.
Il mio dubbio è se si possa esprimere l'accelerazione come somma di una componente tangenziale e di una radiale anche in un istante $t_0$ in cui \(v(t_0)=0\). Il mio dubbio nasce dal fatto che, in un tale istante, non saprei come scrivere \(\mathbf{a}(t_0)\) esplicitamente come somma di tali componenti perché \(v^{-1}(t_0)\mathbf{v}(t_0)\) -per definire \(\mathbf{t}\) ho usato infatti \(v^{-1}\mathbf{v}\)- non esiste perché non esiste \(v^{-1}(t_0)\).

"navigatore":Se il punto descrive una curva regolare

Che definizione di regolare intendi? Che possieda una parametrizzazione \(\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3\) per cui valga \(\mathbf{r}\in C^1[a,b]\) e \(\forall t\in[a,b]\quad\|\mathbf{r}'(t)\|\ne 0\)?
In tal caso si può definire per ogni $t\in[a,b]$ un versore tangente \(\|\mathbf{r}'(t)\|^{-1}\mathbf{r}'(t)\), che però non saprei come si possa far entrare in una scomposizione di \(\mathbf{a}(t)\).

Metto in spoiler perché, se sto andando fuori strada, non voglio riempire il thread di divagazioni inutili.

Con qualche assunzione di "regolarità" in più rispetto alla definizione di regolarità che possiedo io, per esempio mi pare che basti che la curva ammetta una parametrizzazione \(\mathbf{r}\in C^2[a,b]\), si dimostra l'esistenza di una terna di Frénet costituita da\[\mathbf{T}(t):=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|},\quad\mathbf{N}(t):=\frac{d}{dt}\bigg(\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}\bigg),\quad\mathbf{B}(t):=\mathbf{T}(t)\times\mathbf{N}(t) \] che è una base di \(\mathbb{R}^3\). In tal caso l'accelerazione* \(\mathbf{a}(t)\) è ovviamente esprimibile come \[\mathbf{a}(t)=a_1(t)\mathbf{T}(t)+ a_2(t)\mathbf{N}(t)+ a_3(t)\mathbf{B}(t)\]tuttavia sarebbe interessante vedere se si può dimostrare se \(a_3\equiv 0\) e se \(a_1(t_0)=v(t_0)\) anche quando \(v(t_0)=0\).


*Si noti che \(\mathbf{a}\) è la derivata seconda di una parametrizzazione che rappresenta la posizione del punto in movimento considerato, diciamo \(\mathbf{x}:[a,b]\to\mathbb{R}^3\), diversa da \(\mathbf{r}\) perché la definizione che ho usato stabilisce che \(\forall t\in[a,b]\quad\mathbf{r}'(t)\ne\mathbf{0}\), mentre il caso oggetto della mia domanda prevede che \(\mathbf{v}(t_0)=\mathbf{x}'(t_0)=\mathbf{0}\).

"navigatore":Ci vuole una forza per cambiare almeno la direzione di $vecv$ , o no?

Certo. Il mio dubbio è se si possa scomporre nelle due componenti radiale e tangenziale anche un'accelerazione \(\mathbf{a}(t_0)\) quando \(\mathbf{v}(t_0)=\mathbf{0}\), caso in cui non saprei come definire un versore tangente.


$\infty$ grazie a tutti e due!!! @navigatore: sono felice che intervenga anche tu perché sei autore di molti post in cui vedo che si suggerisce la scomposizione \(\mathbf{a}=\frac{dv}{dt}\mathbf{t}+v\frac{d\mathbf{t}}{dt}\) per cui sai senz'altro quando è lecito e quando non è lecito usarla.

[Sk_Anonymous]

"DavideGenova":[quote="alessandro8"]è richiesta, proprio a livello di definizione, che valga la condizione $gamma'(t)!=0 AA t in I°$

Che esista per $\gamma$ una parametrizzazione \(\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3\) per cui valga \(\mathbf{r}\in C^1[a,b]\) e \(\forall t\in[a,b]\quad\|\mathbf{r}'(t)\|\ne 0\) è quella che conosco come definizione di una curva regolare $\gamma$.[/quote]

Hai ragione; era un particolare che avevo dato erroneamente per scontato.

Saluti.

[DavideGenova1]

@alessandro8 In fisica, in ogni caso, si dà per scontato che tutte le traiettorie siano giustapposizioni di tratti regolari, nel senso di parametrizzabili attraverso una parametrizzazione \(\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3\) per cui valga \(\mathbf{r}\in C^1[a,b]\) e \(\forall t\in[a,b]\quad\|\mathbf{r}'(t)\|\ne 0\), anche se poi vengono percorsi da un punto mobile la cui posizione è individuata da \(\mathbf{x}(t)\) (stessa notazione che ho usato nello spoiler di sopra) e, per qualche $t_0$, \(\mathbf{x}'(t_0)=\mathbf{0}\), o si ammette che esistano traiettorie sprovviste di una parametrizzazione a derivata mai nulla? Grazie di cuore!

[Sk_Anonymous]

"DavideGenova":
Il mio dubbio è se si possa esprimere l'accelerazione come somma di una componente tangenziale e di una radiale anche in un istante $ t_0 $ in cui \( v(t_0)=0 \). Il mio dubbio nasce dal fatto che, in un tale istante, non saprei come scrivere \( \mathbf{a}(t_0) \) esplicitamente come somma di tali componenti perché \( v^{-1}(t_0)\mathbf{v}(t_0) \) -per definire \( \mathbf{t} \) ho usato infatti \( v^{-1}\mathbf{v} \)- non esiste perché non esiste \( v^{-1}(t_0) \).
………..
Il mio dubbio è se si possa scomporre nelle due componenti radiale e tangenziale anche un'accelerazione \( \mathbf{a}(t_0) \) quando \( \mathbf{v}(t_0)=\mathbf{0} \), caso in cui non saprei come definire un versore tangente.

Scusa, ma hai bisogno della velocità di un punto materiale che percorra la curva, per definire il "versore tangente" come $hatt = (vecv)/v $
Una curva esiste indipendentemente da un punto che la percorra , no ? In geometria differenziale, (lascio perdere definizioni elaborate, a costo di litigare con i matematici….semmai ne arriva qualcuno! ) , non ti basta definire il versore tangente a una curva descritta da $vecr = vecr(s)$ (dove $s$ è per esempio l'ascissa curvilinea, e $vecr$ è il vettore posizione rispetto a una origine) come :

$hatt = (dvecr)/(ds) $

E in ogni punto della curva, ammesse tutte le condizioni di regolarità che vuoi, non puoi definire la terna intrinseca?

E se anche fosse, nel caso della meccanica, che in un certo punto della traiettoria , cioè in un certo istante del tempo assunto come parametro, la velocità fosse nulla come supponi, il versore tangente in quel punto non esiste?

[DavideGenova1]

"navigatore":Scusa, ma hai bisogno della velocità di un punto materiale che percorra la curva, per definire il "versore tangente" come $hatt = (vecv)/v $

Nel post originale ho chiamato \(\mathbf{v}\) la velocità del punto, \(v\) il suo modulo e \(\mathbf{a}\) l'accelerazione. In tal caso se non esiste \(v^{-1}\) non esiste \(\frac{d}{dt}\big(v\frac{\mathbf{v}}{v}\big)\) e \(\mathbf{a}\) non si può esprimere in tal modo. Sono ignorante, ma fin lì devo dire di non avere alcun dubbio.
Mi sembra di capire che tu intenda quindi che una traiettoria in fisica ammetta necessariamente una parametrizzazione \(\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3\) di classe $C^2[a_i,b_i]$ su un numero finito $n$ di tratti $[a_i,b_i]$ la cui unione è $[a,b]$ e tale che \(\forall t\in[a,b]\quad\mathbf{r}'(t)\ne\mathbf{0}\) e che quindi, come presagivo nello spoiler, ammetta un apparato di Frénet su ogni intervallo $[a_i,b_i]$: è così?
Su tale questione, che mi sembra interessante di per sé, a prescindere da come si possa esprimere l'accelerazione, ho ritenuto utile aprire un thread apposito, quindi, se vuoi, puoi anche rispondermi lì, dove oltretutto tocco argomenti correlati.

"navigatore":Una curva esiste indipendentemente da un punto che la percorra , no ? [...] E se anche fosse, nel caso della meccanica, che in un certo punto della traiettoria , cioè in un certo istante del tempo assunto come parametro, la velocità fosse nulla come supponi, il versore tangente in quel punto non esiste?

Se la curva rispetta certe condizioni -direi che l'ammettere una parametrizzazione \(\mathbf{r}\) come sopra possa bastare: giusto?- allora sì, ammette versore tangente.

In caso di risposta affermativa, se ogni traiettoria fisica deve ammettere un apparato di Frénet, dalla geometria degli spazi vettoriali euclidei sappiamo, come dicevo nello spoiler, che la terna di Frénet è una base di $\mathbb{R}^3$ e perciò si può scomporre \(\mathbf{a}=\frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2}\) (notazione come in spoiler), in modo oltretutto unico, come\[\mathbf{a}(t)=a_1(t)\mathbf{T}(t)+ a_2(t)\mathbf{N}(t)+ a_3(t)\mathbf{B}(t)\]Resta però da dimostrare, cosa che non mi riesce di fare, che \(a_3(t)= 0\) e che \(a_1(t)=v(t)\) anche quando \(v(t)=0\) (il caso in cui \(v(t)\ne 0\) è semplicemente dimostrato dall'espressione di \(\mathbf{a}\) del post originale, dove ho posto \(\mathbf{t}=\frac{\mathbf{v}}{v}\) perché in tal caso si può scegliere questo come versore tangente \(\mathbf{T}\)), che, senz'altro a causa delle mie scarsissime capacità matematiche, di cui chiedo venia, mi sembra un fatto tutt'altro che banale. Come si può dimostrare? Sarei immensamente grato per una dimostrazione diretta o per un riferimento bibliografico ad una dimostrazione contenuta in qualche testo reperibile...

$\infty$ grazie!!!