Accelerazione relativa e piano inclinato
Ciao ragazzi! Vorrei sapere cosa ne pensate dei miei ragionamenti sullo svolgimento di questo esercizio:
Un piano inclinato di un angolo $\theta = 30°$ rispetto all’orizzontale è solidale ad un carrello in moto rettilineo lungo l’orizzontale con accelerazione $a_c = 2 m s^2$. Un corpo puntiforme inizialmente fermo rispetto al carrello ed appoggiato sul piano inclinato ad un’altezza $H = 30cm$ dalla base viene lasciato scivolare sul piano. Trascurando gli attriti si calcoli l’intervallo di tempo impiegato dal corpo per raggiungere la base ed il modulo della velocità relativa al carrello al termine della discesa.
Io imposto l'esercizio così:
detta $A$ l'accelerazione del corpo rispetto al carrello e $a$ l'accelerazione del corpo rispetto alla terra, considerando i sistemi di riferimento solidali col carrello e con la terra, dico che $\veca=\vecA+\veca_c$ e che $veca=vecg$, $g$ è l'accelerazione gravitazionale.
Ragionando per componenti, prendendo entrambi i sistemi di riferimento inclinati come il piano, $A_x=g*sin\theta-a_c*cos\theta$ e$A_y=-g*cos\theta-a_c*sin\theta$. Di conseguenza dico che il tempo impiegato dal punto per raggiungere la base è $t=sqrt((2H/A_y))$.
Per la velocità, considerando che il punto è partito da fermo, $V_x=A_x*t$ e $V_y=A_y*t$.
Cosa ne dite? Ho scritto grosse stupidaggini?
Grazie a tutti!
Un piano inclinato di un angolo $\theta = 30°$ rispetto all’orizzontale è solidale ad un carrello in moto rettilineo lungo l’orizzontale con accelerazione $a_c = 2 m s^2$. Un corpo puntiforme inizialmente fermo rispetto al carrello ed appoggiato sul piano inclinato ad un’altezza $H = 30cm$ dalla base viene lasciato scivolare sul piano. Trascurando gli attriti si calcoli l’intervallo di tempo impiegato dal corpo per raggiungere la base ed il modulo della velocità relativa al carrello al termine della discesa.
Io imposto l'esercizio così:
detta $A$ l'accelerazione del corpo rispetto al carrello e $a$ l'accelerazione del corpo rispetto alla terra, considerando i sistemi di riferimento solidali col carrello e con la terra, dico che $\veca=\vecA+\veca_c$ e che $veca=vecg$, $g$ è l'accelerazione gravitazionale.
Ragionando per componenti, prendendo entrambi i sistemi di riferimento inclinati come il piano, $A_x=g*sin\theta-a_c*cos\theta$ e$A_y=-g*cos\theta-a_c*sin\theta$. Di conseguenza dico che il tempo impiegato dal punto per raggiungere la base è $t=sqrt((2H/A_y))$.
Per la velocità, considerando che il punto è partito da fermo, $V_x=A_x*t$ e $V_y=A_y*t$.
Cosa ne dite? Ho scritto grosse stupidaggini?
Grazie a tutti!
Risposte
Ragazzi, scusate se insisto però vorrei sapere cosa ne pensate di quello che ho scritto. Perchè sto studiando da sola e di questo argomento in particolare non sono molto sicura...
Grazie!
Grazie!
Non ho capito bene le equazioni che hai scritto, credo ci sia qualcosa che non va però, ti dico quello che avrei fatto io.
Visto che quello che interessa è la velocità relativa al carrello io ragionerei mettendomi solidale col carrello e considerando la forza inerziale apparente $-m a_c$ come forza aggiunta alla forza peso.
Considero il piano inclinato disposto con l'angolo retto a destra e che il carrello acceleri verso sinistra: quindi che la forza apparente è diretta verso destra con una componente in direzione del piano inclinato opposta alla gravità.
Prendendo un sistema di riferimento diretto come il piano inclinato, e sempre solidale al carrello e al piano inclinato, scrivo l'equazione di Newton tenendo in conto la forza apparente:
$ma = mg sin \theta -m a_c cos \theta$
quindi l'accelerazione della massa lungo il piano inclinato è:
$a=g sin \theta - a_c cos \theta$
Per il calcolo del tempo devo considerare che lo spazio da percorrere è $H/sin \theta$ (se $H$ è l'altezza dall'orizzontale come mi sembra dal testo, altrimenti se $H$ è la distanza lungo il piano inclinato non c'è il $sin \theta$ ), quindi si trova:
$t=((2 H) /(sin \theta *(g sin \theta -a_c cos \theta)))^(1/2)$
Per il calcolo della velocità rispetto al piano inclinato una volta che la massa sia arrivata in fondo, basta fare $a t$...
In maniera equivalente per l'ultimo punto si può usare la conservazione dell'energia, nel sistema di riferimento del carrello, mettendo però nel conto anche il lavoro fatto dalla forza apparente:
$mgH = 1/2 m v^2 + m a_c cos \theta H / (sin \theta)$
Se svolgi ottieni lo stesso risultato che facendo $a t$ .
Visto che quello che interessa è la velocità relativa al carrello io ragionerei mettendomi solidale col carrello e considerando la forza inerziale apparente $-m a_c$ come forza aggiunta alla forza peso.
Considero il piano inclinato disposto con l'angolo retto a destra e che il carrello acceleri verso sinistra: quindi che la forza apparente è diretta verso destra con una componente in direzione del piano inclinato opposta alla gravità.
Prendendo un sistema di riferimento diretto come il piano inclinato, e sempre solidale al carrello e al piano inclinato, scrivo l'equazione di Newton tenendo in conto la forza apparente:
$ma = mg sin \theta -m a_c cos \theta$
quindi l'accelerazione della massa lungo il piano inclinato è:
$a=g sin \theta - a_c cos \theta$
Per il calcolo del tempo devo considerare che lo spazio da percorrere è $H/sin \theta$ (se $H$ è l'altezza dall'orizzontale come mi sembra dal testo, altrimenti se $H$ è la distanza lungo il piano inclinato non c'è il $sin \theta$ ), quindi si trova:
$t=((2 H) /(sin \theta *(g sin \theta -a_c cos \theta)))^(1/2)$
Per il calcolo della velocità rispetto al piano inclinato una volta che la massa sia arrivata in fondo, basta fare $a t$...
In maniera equivalente per l'ultimo punto si può usare la conservazione dell'energia, nel sistema di riferimento del carrello, mettendo però nel conto anche il lavoro fatto dalla forza apparente:
$mgH = 1/2 m v^2 + m a_c cos \theta H / (sin \theta)$
Se svolgi ottieni lo stesso risultato che facendo $a t$ .
Ok grazie mille.
Nelle mie equazioni io avevo scritto che, prendendo un sistema solidale con un osservatore esterno, l'accelerazione che il corpo sul piano inclinato doveva avere era $vec g$, e quindi facevo valere la legge di composizione dicendo che $vec g$ era uguale all'accelerazione del corpo relativa al piano e a quella del piano relativa al terreno.
Credo probabilmente poi di essermi persa nelle varie componenti.
Il tuo metodo è assolutamente più chiaro del mio, ma vorrei sapere se quello che scrivo io è proprio sbagliato, è sbagliato dire che per un osservatore esterno solidale con il terreno l'accelerazione della massa è $vec g$?
Grazie ancora!
Nelle mie equazioni io avevo scritto che, prendendo un sistema solidale con un osservatore esterno, l'accelerazione che il corpo sul piano inclinato doveva avere era $vec g$, e quindi facevo valere la legge di composizione dicendo che $vec g$ era uguale all'accelerazione del corpo relativa al piano e a quella del piano relativa al terreno.
Credo probabilmente poi di essermi persa nelle varie componenti.
Il tuo metodo è assolutamente più chiaro del mio, ma vorrei sapere se quello che scrivo io è proprio sbagliato, è sbagliato dire che per un osservatore esterno solidale con il terreno l'accelerazione della massa è $vec g$?
Grazie ancora!
"delca85":
Ok grazie mille.
Nelle mie equazioni io avevo scritto che, prendendo un sistema solidale con un osservatore esterno, l'accelerazione che il corpo sul piano inclinato doveva avere era $vec g$, e quindi facevo valere la legge di composizione dicendo che $vec g$ era uguale all'accelerazione del corpo relativa al piano e a quella del piano relativa al terreno.
Credo probabilmente poi di essermi persa nelle varie componenti.
Il tuo metodo è assolutamente più chiaro del mio, ma vorrei sapere se quello che scrivo io è proprio sbagliato, è sbagliato dire che per un osservatore esterno solidale con il terreno l'accelerazione della massa è $vec g$?
Grazie ancora!
No il metodo che hai usato mettendoti nel sistema di riferimento assoluto non è corretto perché l'accelerazione non è solo $\vec g$, devi considerare anche la reazione normale al piano inclinato che influenza l'accelerazione. Stasera magari ti scrivo le equazioni.
Ok, quindi l'accelerazione che devo considerare è $vec g$ meno la componente perpendicolare al piano di $vec g$ e quella perpendicolare al piano di $a_c$?
Grazie per la pazienza!
Grazie per la pazienza!
Ciao.
Oggi sono a casa con una mezza influenza.. ora che mi sento un po' meglio provo a vedere questo problema con l'approccio assoluto e non relativo.
Vedrai che le cose diventano leggermente più complesse, ma non lasciarti impressionare!
Ricordati comunque di non lanciarti a fare proiezioni e componenti in maniera intuitiva che spesso si sbaglia!
Ti do un consiglio. Tutti i problemi di meccanica possono essere risolti applicando una sola equazione:
$m \vec a = \sum \vec F$
se applichi bene questa equazioni non sbagli mai, certo a volte non è il procedimento più comodo e a volte porta a scrivere equazioni non risolvibili facilmente, ma non sbagli formalmente.
Dopo questa predica dettata dalle febbre veniamo al problema.
Consideriamo un sistema di riferimento assoluto $xy$ fermo e vediamo di scrivere la suddetta equazione per le componenti $x$ e $y$. Ricordiamo che dato che il piano inclinato è liscio la reazione vincolare del piano $\vec R$ è sempre normale al piano stesso. Non ho voglia di fare il disegno ma confido che riuscirai a farlo corretto da te e a seguirmi.
Per $y$ prendendo la direzione verticale diretta verso il basso (verticale NON lungo il piano inclinato) si ha:
$m a_y = mg - R cos \theta$
dove $a_y$ è la componente y dell'accelerazione assoluta.
Lungo la direzione orizzontale $x$ invece scegliendo per esempio positiva la direzione verso sinistra (stesso disegno di prima con angolo retto a destra) si ha:
$m a_x = R sin \theta$
Come vedi abbiamo 2 equazioni e 3 incognite: $R$, $a_x$ e $a_y$.
Inoltre, dirai tu, qui non compare l'accelerazione del carrello! Vero infatti per completare il sistema ci manca un equazione di vincolo che lega gli spostamenti lungo $x$ agli spostamaneti lungo $y$. Non dobbiamo infatti dimenticare che la massa $m$ rimane per ipotesi aderente al piano inclinato.
La condizione che deve essere rispettata è che
$(\Delta y_r)/(\Delta x_r)=tg \theta$
dove $\Delta x_r$ e $\Delta y_r$ sono gli spostamenti infinitesimi nel sistema di riferimento solidale al piano inclinato.
Ora sappiamo che
$\Delta y_A=\Delta y_r$
dato che lungo $y$ il piano inclinato non si muove e che
$\Delta x_r=\Delta x_A-\Delta x_c$ dove con il pedice $_A$ ho indicato gli spostamenti assoluti e con il pedice $_c$ quelli del piano inclinato.
Sostituendo troviamo che
$\Delta y_A=tg \theta(\Delta x_a - \Delta x_c)$
quindi in termini di accelerazioni troveremo che
$a_y=tg \theta(a_x - a_c)$
Dove $a_y$ è l'accelerazione assoluta lungo $y$ e $a_C$ è l'accelerazione lungo $x$ del piano inclinato.
Da questa equazione possiamo ricavare $a_x=a_y/(tg \theta) + a_c$
Questa equazione possiamo sostituirla nella seconda equazione del sistema e ottenere una espressione per $R$ che sostituita nella prima dà il valore dell'accelerazione assoluta $a_y$.
Il calcolo del tempo per arrivare alla fine del piano inclinato si fa quindi semplicemente mediante:
$1/2 a_y t^2 = H$ questo perché per ipotesi nell'istante iniziale la massa non ha alcuna componente di velocità lungo y.
Ho fatto i conti e ti assicuro che viene lo stesso risultato di prima.
Come vedi qui i calcoli sono molto più lunghi e il tutto è molto più elaborato, mentre ragionando in termini di sistema relativo e forze apparenti tutto è più semplice, quindi la strada maestra per risolvere quel problema è quella che abbiamo visto prima.
In ogni caso spero sei riuscita a seguire fin qui e che questo ti sia utile a capire meglio le cose.
Oggi sono a casa con una mezza influenza.. ora che mi sento un po' meglio provo a vedere questo problema con l'approccio assoluto e non relativo.
Vedrai che le cose diventano leggermente più complesse, ma non lasciarti impressionare!
Ricordati comunque di non lanciarti a fare proiezioni e componenti in maniera intuitiva che spesso si sbaglia!
Ti do un consiglio. Tutti i problemi di meccanica possono essere risolti applicando una sola equazione:
$m \vec a = \sum \vec F$
se applichi bene questa equazioni non sbagli mai, certo a volte non è il procedimento più comodo e a volte porta a scrivere equazioni non risolvibili facilmente, ma non sbagli formalmente.
Dopo questa predica dettata dalle febbre veniamo al problema.
Consideriamo un sistema di riferimento assoluto $xy$ fermo e vediamo di scrivere la suddetta equazione per le componenti $x$ e $y$. Ricordiamo che dato che il piano inclinato è liscio la reazione vincolare del piano $\vec R$ è sempre normale al piano stesso. Non ho voglia di fare il disegno ma confido che riuscirai a farlo corretto da te e a seguirmi.
Per $y$ prendendo la direzione verticale diretta verso il basso (verticale NON lungo il piano inclinato) si ha:
$m a_y = mg - R cos \theta$
dove $a_y$ è la componente y dell'accelerazione assoluta.
Lungo la direzione orizzontale $x$ invece scegliendo per esempio positiva la direzione verso sinistra (stesso disegno di prima con angolo retto a destra) si ha:
$m a_x = R sin \theta$
Come vedi abbiamo 2 equazioni e 3 incognite: $R$, $a_x$ e $a_y$.
Inoltre, dirai tu, qui non compare l'accelerazione del carrello! Vero infatti per completare il sistema ci manca un equazione di vincolo che lega gli spostamenti lungo $x$ agli spostamaneti lungo $y$. Non dobbiamo infatti dimenticare che la massa $m$ rimane per ipotesi aderente al piano inclinato.
La condizione che deve essere rispettata è che
$(\Delta y_r)/(\Delta x_r)=tg \theta$
dove $\Delta x_r$ e $\Delta y_r$ sono gli spostamenti infinitesimi nel sistema di riferimento solidale al piano inclinato.
Ora sappiamo che
$\Delta y_A=\Delta y_r$
dato che lungo $y$ il piano inclinato non si muove e che
$\Delta x_r=\Delta x_A-\Delta x_c$ dove con il pedice $_A$ ho indicato gli spostamenti assoluti e con il pedice $_c$ quelli del piano inclinato.
Sostituendo troviamo che
$\Delta y_A=tg \theta(\Delta x_a - \Delta x_c)$
quindi in termini di accelerazioni troveremo che
$a_y=tg \theta(a_x - a_c)$
Dove $a_y$ è l'accelerazione assoluta lungo $y$ e $a_C$ è l'accelerazione lungo $x$ del piano inclinato.
Da questa equazione possiamo ricavare $a_x=a_y/(tg \theta) + a_c$
Questa equazione possiamo sostituirla nella seconda equazione del sistema e ottenere una espressione per $R$ che sostituita nella prima dà il valore dell'accelerazione assoluta $a_y$.
Il calcolo del tempo per arrivare alla fine del piano inclinato si fa quindi semplicemente mediante:
$1/2 a_y t^2 = H$ questo perché per ipotesi nell'istante iniziale la massa non ha alcuna componente di velocità lungo y.
Ho fatto i conti e ti assicuro che viene lo stesso risultato di prima.
Come vedi qui i calcoli sono molto più lunghi e il tutto è molto più elaborato, mentre ragionando in termini di sistema relativo e forze apparenti tutto è più semplice, quindi la strada maestra per risolvere quel problema è quella che abbiamo visto prima.
In ogni caso spero sei riuscita a seguire fin qui e che questo ti sia utile a capire meglio le cose.
Faussone... già che ci sei dai anche un'occhiata all'altro post di delca sullo slittino? abbiamo un dubbio....
Grazie Faussone!
Sei veramente un grande, più chiaro di così non potevi essere. Effettivamente la strada del sistema di riferimento solidale con il carrello è molto è più semplice.
Grazie ancora e..guarisci presto! (anche se a me non conviene tanto
)
Sei veramente un grande, più chiaro di così non potevi essere. Effettivamente la strada del sistema di riferimento solidale con il carrello è molto è più semplice.
Grazie ancora e..guarisci presto! (anche se a me non conviene tanto
)
"delca85":
Grazie Faussone!
Sei veramente un grande, più chiaro di così non potevi essere. Effettivamente la strada del sistema di riferimento solidale con il carrello è molto è più semplice.
Grazie ancora e..guarisci presto! (anche se a me non conviene tanto
Grazie a te!
. Per me è una grande soddisfazione se mi hai seguito nello svolgimento. E' la migliore ricompensa per il tempo impiegato a scrivere, certo c'è anche una componente di divertimento in ogni caso, 
ma così la soddisfazione è doppia! Ciao
Ti ho seguito e mi hai proprio fatto capire tante cose. So che non è un argomento difficile ma studiando da soli ogni tanto vengono un po' di dubbi!
Ciao ciao.
Ciao ciao.
Nulla è difficile in assoluto e nulla è facile in assoluto. Comunque non immagineresti quanti dubbi avevo (e ho talvolta) anch'io!
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