Accelerazione Normale del Proiettile
Di solito, come da regolamento, tento sempre di postare il mio approccio al problema, ma qui davvero non so da dove iniziare, proverò comuque a scrivere qualcosa, e scusate eventuali castronerie.
"un punto, partendo dall'origine, descrive una traiettoria parabolica con accelerazione $\vecg$; la velocità iniziale è v_0. determinare, in funzione di x:
1) L'angolo che la velocità forma con l'asse x;
2)l'accelerazione normale;
3)in raggio di curvatura della traiettoria."
$x(t)=v_ocos\phit$
$y(t)=v_osin\phit-1/2g*t^2$
il vettore posizione è quindi $\vecr=[v_ocos\phit]\vec(ux)+[v_osin\phit-1/2g*t^2]\vec(uy)$
Ovviamente partendo da questo so scrivere il vettore velocità e il vettore accelerazione, ma per il resto non saprei cosa fare. Devo ragionare in termini di incrementi infinitesimi?
"un punto, partendo dall'origine, descrive una traiettoria parabolica con accelerazione $\vecg$; la velocità iniziale è v_0. determinare, in funzione di x:
1) L'angolo che la velocità forma con l'asse x;
2)l'accelerazione normale;
3)in raggio di curvatura della traiettoria."
$x(t)=v_ocos\phit$
$y(t)=v_osin\phit-1/2g*t^2$
il vettore posizione è quindi $\vecr=[v_ocos\phit]\vec(ux)+[v_osin\phit-1/2g*t^2]\vec(uy)$
Ovviamente partendo da questo so scrivere il vettore velocità e il vettore accelerazione, ma per il resto non saprei cosa fare. Devo ragionare in termini di incrementi infinitesimi?
Risposte
Il moto lungo l'asse \(x\) è un moto rettilineo uniforme, quello lungo l'asse \(y\) è rettilineo uniformemente accelerato. Le velocità sono quindi
\[v_{x}=v_{0}\cos{\theta}\hspace{2 cm}v_{y}=v_{0}\sin{\theta}-gt\]
dalle quali ricaviamo l'angolo
\[\tan{\phi}=\frac{v_{y}}{v_{x}}=\tan{\theta}-\frac{gt}{v_{0}\cos{\theta}}\]
L'accelerazione centripeta vale
\[a_{N}=g\cos{\phi}\]
e il raggio di curvatura
\[a_{N}=\frac{v^{2}}{R}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}R=\frac{v^{2}}{a_{N}}=\frac{v^{2}_{x}+v^{2}_{y}}{g\cos{\phi}}\]
\[v_{x}=v_{0}\cos{\theta}\hspace{2 cm}v_{y}=v_{0}\sin{\theta}-gt\]
dalle quali ricaviamo l'angolo
\[\tan{\phi}=\frac{v_{y}}{v_{x}}=\tan{\theta}-\frac{gt}{v_{0}\cos{\theta}}\]
L'accelerazione centripeta vale
\[a_{N}=g\cos{\phi}\]
e il raggio di curvatura
\[a_{N}=\frac{v^{2}}{R}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}R=\frac{v^{2}}{a_{N}}=\frac{v^{2}_{x}+v^{2}_{y}}{g\cos{\phi}}\]
Innanzitutto grazie. Perchè $varphi$ si ricava in quel modo?
Il problema è posto in maniera inesatta. E non credo che sia stato dato proprio in questi termini. I dati sono troppo pochi.
La velocità iniziale è un vettore $vecv_0$, ma l'angolo che esso forma con l'asse $x$ devi saperlo in partenza, non puoi determinarlo così. A meno che tu non abbia una espressione del tipo:
$vecv_0 = v_(0x)veci + v_(0y)vecj$
nel qual caso risulta che :$tg\phi = v_(0y)/v_(0x)$
Oppure, che so, potresti avere il dato della gittata, o dell'altezza massima....Insomma occorre qualche altro ingrediente per fare la minestra buona, non bastano acqua e sale.
Poi, fa attenzione a come scrivi $x$ ed $y$, perché scrivendo :$ x = v_0 cos\phit$ sembra che l'argomento del $cos$ sia $\phit$, invece più correttamente devi scrivere : $ x = (v_0 cos\phi)*t$, chiaro? E analogamente per il primo termine di $y$.
E poi : in quale punto devi trovare l'accelerazione normale? In quale punto devi trovare il raggio di curvatura della parabola?
La velocità iniziale è un vettore $vecv_0$, ma l'angolo che esso forma con l'asse $x$ devi saperlo in partenza, non puoi determinarlo così. A meno che tu non abbia una espressione del tipo:
$vecv_0 = v_(0x)veci + v_(0y)vecj$
nel qual caso risulta che :$tg\phi = v_(0y)/v_(0x)$
Oppure, che so, potresti avere il dato della gittata, o dell'altezza massima....Insomma occorre qualche altro ingrediente per fare la minestra buona, non bastano acqua e sale.
Poi, fa attenzione a come scrivi $x$ ed $y$, perché scrivendo :$ x = v_0 cos\phit$ sembra che l'argomento del $cos$ sia $\phit$, invece più correttamente devi scrivere : $ x = (v_0 cos\phi)*t$, chiaro? E analogamente per il primo termine di $y$.
E poi : in quale punto devi trovare l'accelerazione normale? In quale punto devi trovare il raggio di curvatura della parabola?
Problema 1.15 del MAzzoldi, ed è posto esattamente cosi.
Non richuede un punto specificp in cui calcolarli, richiede di mettere tutto in funzione di x.
Comunque non ho capito memmeno il passaggio per trovare l'angolo... perchè $phi$ si ricava in quel modo?
Non richuede un punto specificp in cui calcolarli, richiede di mettere tutto in funzione di x.
Comunque non ho capito memmeno il passaggio per trovare l'angolo... perchè $phi$ si ricava in quel modo?
Perchè tu sai che la velocità è sempre tangente alla traiettoria, e la puoi visualizzare come un segmento (appunto tangente). Ora se costruisci il triangolo dato da velocità e sue componenti, ti ricorderai dalla geometria che la pendenza di quel segmento rispetto all'orizzontale è dato dal rapporto dei due cateti.
Ah giusto, cavolo!
$v_x=vcos_\varphi$
$v_y=vsin_\varphi$
basta fare il rapporto.
Grazie ad entrambi!!!
$v_x=vcos_\varphi$
$v_y=vsin_\varphi$
basta fare il rapporto.
Grazie ad entrambi!!!
Nonostante ieri sera io abbia fatto questo problema, appena mi di è presentato un problema analogo, non ci sono riuscito.
La cosa brutto è che in 4 libri, tra teoria ed escercizi, ci sono solo un paio di questi problemi, il Mencuccini-Silvestrini non ha nemmeno un esercizio a riguardo.
Ho un punto che si muove su una guida liscia parabolica, di equazione $y=5x^2$
La velocità è costante di $v_0=1m/s$ lungo la guida.
Mi dice di calcolare l'accelerazione quandoil puntopassa per il vertice (posto nell'origine), e per il punto di ascissa $x=0,1m$
Più che un aiuto nei calcoli e nella risoluzione, vorrei una mano nel capire cosa fare, è meno noioso per chi mi aiuta, e più utile per me. Da dove posso partire?
La cosa brutto è che in 4 libri, tra teoria ed escercizi, ci sono solo un paio di questi problemi, il Mencuccini-Silvestrini non ha nemmeno un esercizio a riguardo.
Ho un punto che si muove su una guida liscia parabolica, di equazione $y=5x^2$
La velocità è costante di $v_0=1m/s$ lungo la guida.
Mi dice di calcolare l'accelerazione quandoil puntopassa per il vertice (posto nell'origine), e per il punto di ascissa $x=0,1m$
Più che un aiuto nei calcoli e nella risoluzione, vorrei una mano nel capire cosa fare, è meno noioso per chi mi aiuta, e più utile per me. Da dove posso partire?
"Flamber":
......
Mi dice di calcolare l'accelerazione quandoil puntopassa per il vertice (posto nell'origine), e per il punto di ascissa $ x=0,1m $
$vecg$
Se poi vuoi le componenti normale e tangenziale in un punto qualunque P, trovati l'eq della tangente in P e proietta $vecg$ sulla tangente e sulla normale.
Ma nel vertice non fare tanta fatica.
Naturalmente in quanto sopra ho supposto che la guida sia sempre messa in un piano verticale nel campo gravitazionale terrestre.
no qui non c'è in gioco g, c'è solo ul punto che simuove lungo la parabola con velocità costante, e praticamente vuole un'espressione dell'accelerazione centripeta
Con "velocità costante" è un po' difficile. Forse vuoi dire " di modulo costante" .
Se il modulo della velocità è costante, l'accelerazione ha componente tangenziale nulla, vuol dire che è tutta centripeta , e come sai il modulo della accelerazione centripeta vale : $ a = v^2/r$
Nel tuo caso, scrivi il raggio vettore del punto mobile, funzione del tempo, dall'origine delle coordinate:
$vecr(t) = x(t)veci + y(t)vecj$
La velocita vettoriale è allora : $vecv = dotxveci + dotyvecj$
L'accelerazione vettoriale è data da : $veca = ddotxveci + ddotyvecj$
Data l'equazione della traiettoria in forma cartesiana $ y = f(x)$ ( che tu hai) , ci si riconduce alla forma parametrica in funzione del tempo ponendo : $x = t$ ; $ y = f(t) $
Non so se questo può bastarti.
Se il modulo della velocità è costante, l'accelerazione ha componente tangenziale nulla, vuol dire che è tutta centripeta , e come sai il modulo della accelerazione centripeta vale : $ a = v^2/r$
Nel tuo caso, scrivi il raggio vettore del punto mobile, funzione del tempo, dall'origine delle coordinate:
$vecr(t) = x(t)veci + y(t)vecj$
La velocita vettoriale è allora : $vecv = dotxveci + dotyvecj$
L'accelerazione vettoriale è data da : $veca = ddotxveci + ddotyvecj$
Data l'equazione della traiettoria in forma cartesiana $ y = f(x)$ ( che tu hai) , ci si riconduce alla forma parametrica in funzione del tempo ponendo : $x = t$ ; $ y = f(t) $
Non so se questo può bastarti.
Il moto è parabolico con asse di simmetria parallelo all'asse delle \(y\) con concavità verso l'alto, questo vuol dire che i moti del punto proiettati lungo gli assi \(x\) e \(y\) sono rispettivamente rettilineo uniforme e rettilineo uniformemente accelerato (con \(a=cost>0\) parallela e concorde all'asse \(y\) e velocità iniziale con componenti negative)
Ora ti espongo il mio dubbio... Il modulo quadro dell'accelerazione può essere scritto come
\[a^{2}=a^{2}_{N}+a^{2}_{T}=a^{2}_{N}\]
cioè l'accelerazione è puramente centripeta (in quanto hai scritto che la velocità non varia in modulo e quindi deve essere nulla l'accelerazione tangenziale).
Ma se il modulo dell'accelerazione è costante allora dovrà esserlo anche quello dell'accelerazione centripeta, cioè
\[a_{N}=\frac{v^{2}}{R}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}R=cost\]
cioè il moto avviene lungo una circonferenza e non lungo una parabola.
Scrivi perciò bene il testo. Perchè scritto in questo modo è contraddittorio.
Ora ti espongo il mio dubbio... Il modulo quadro dell'accelerazione può essere scritto come
\[a^{2}=a^{2}_{N}+a^{2}_{T}=a^{2}_{N}\]
cioè l'accelerazione è puramente centripeta (in quanto hai scritto che la velocità non varia in modulo e quindi deve essere nulla l'accelerazione tangenziale).
Ma se il modulo dell'accelerazione è costante allora dovrà esserlo anche quello dell'accelerazione centripeta, cioè
\[a_{N}=\frac{v^{2}}{R}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}R=cost\]
cioè il moto avviene lungo una circonferenza e non lungo una parabola.
Scrivi perciò bene il testo. Perchè scritto in questo modo è contraddittorio.
Non mi sembra che dica "modulo dell'accelerazione = costante" .
Comunque si può fare anche così . Il vettore velocita è tangente alla curva : $vecv = v*vecT$
dove $vecT$ è il versore tangente alla curva. Quindi si ha : $vecT = vecv/v$ , che si può avere quindi in funzione dei versori degli assi.
Poi : $(dvecT)/(ds) = k*vecN = 1/r*vecN$ , essendo $k$ la curvatura e $r = 1/k$ il raggio di curvatura.
Inoltre : $(dvecT)/(ds) = ((dvecT)/(dt))/((ds)/(dt)) = ((dvecT)/(dt))/v$
Pertanto la curvatura è il modulo di $(dvecT)/(ds)$ , e il raggio di curvatura il suo inverso.
Ma una contraddizione sembra anche a me che ci sia. Meglio avere il testo, fermo restando quanto sopra.
Comunque si può fare anche così . Il vettore velocita è tangente alla curva : $vecv = v*vecT$
dove $vecT$ è il versore tangente alla curva. Quindi si ha : $vecT = vecv/v$ , che si può avere quindi in funzione dei versori degli assi.
Poi : $(dvecT)/(ds) = k*vecN = 1/r*vecN$ , essendo $k$ la curvatura e $r = 1/k$ il raggio di curvatura.
Inoltre : $(dvecT)/(ds) = ((dvecT)/(dt))/((ds)/(dt)) = ((dvecT)/(dt))/v$
Pertanto la curvatura è il modulo di $(dvecT)/(ds)$ , e il raggio di curvatura il suo inverso.
Ma una contraddizione sembra anche a me che ci sia. Meglio avere il testo, fermo restando quanto sopra.
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