Accelerazione moto armonico
Derivando dalla legge oraria della posizione del moto armonico arrivo a concludere che $a=- \omega x(t)$, ma se il segno non fosse rispettato $a=\omega x(t)$ il moto circolare da cui deriva il moto armonico diventerebbe un moto a spirale, giusto?...
[xdom="dissonance"]Titolo modificato per correzione ortografica.[/xdom]
[xdom="dissonance"]Titolo modificato per correzione ortografica.[/xdom]
Risposte
In una dimensione:
$[ddotx+omega^2x=0] rarr [x(t)=c_1cos(omegat)+c_2sen(omegat)]$
$[ddotx-omega^2x=0] rarr [x(t)=c_1e^(-omegat)+c_2e^(omegat)]$
$[ddotx+omega^2x=0] rarr [x(t)=c_1cos(omegat)+c_2sen(omegat)]$
$[ddotx-omega^2x=0] rarr [x(t)=c_1e^(-omegat)+c_2e^(omegat)]$
Il moto armonico mi interessa particolarmente, quindi approfitto di questa discussione per porre alcune domande.
Allora la accelerazione di cui parla MAGICAD è l'accelerazione di un "oggetto" che si muove (di moto armonico) avanti indietro tra due estremi?
Questa accelerazione non è costante ma varia in funzione del tempo, e posso calcolare il suo valore istante per istante conoscendo il tempo trascorso e quindi, grazie alla legge oraria del moto armonico, anche sulla base della posizione che l'oggetto occupa istante per istante? In parole semplici: è massima agli estremi e nulla nel punto medio?
Allora la accelerazione di cui parla MAGICAD è l'accelerazione di un "oggetto" che si muove (di moto armonico) avanti indietro tra due estremi?
Questa accelerazione non è costante ma varia in funzione del tempo, e posso calcolare il suo valore istante per istante conoscendo il tempo trascorso e quindi, grazie alla legge oraria del moto armonico, anche sulla base della posizione che l'oggetto occupa istante per istante? In parole semplici: è massima agli estremi e nulla nel punto medio?
Per oscillatore armonico s'intende il sistema costituito da un punto materiale di massa $[m]$ collegato ad una molla di costante elastica $[k]$ e di lunghezza a riposo $[l_0]$. Per il secondo principio della dinamica, essendo la forza elastica esprimibile come $[F=-k(x-l_0)]$, si tratta di risolvere la seguente equazione differenziale:
$[ma=F] rarr [mddotx=-k(x-l_0)] rarr [ddotx+k/mx=(kl_0)/m]$
avendo posto l'origine del sistema di riferimento nel punto in cui è vincolata la molla al suolo, dato che per $[x=l_0]$ si ha $[F=0]$. Si può dimostrare che le soluzioni assumono la seguente forma:
$[x(t)=Acos(sqrt(k/m)t+phi)+l_0]$
rappresentanti un'oscillazione di ampiezza $[A]$, di pulsazione $[omega=sqrt(k/m)]$ e di centro avente ascissa $[l_0]$. In ogni modo, ammesso che il moto sia oscillatorio, per comprendere che l'accelerazione è nulla al centro e massima agli estremi, non è necessario risolvere l'equazione differenziale, basta considerare $[mddotx=-k(x-l_0)]$.
$[ma=F] rarr [mddotx=-k(x-l_0)] rarr [ddotx+k/mx=(kl_0)/m]$
avendo posto l'origine del sistema di riferimento nel punto in cui è vincolata la molla al suolo, dato che per $[x=l_0]$ si ha $[F=0]$. Si può dimostrare che le soluzioni assumono la seguente forma:
$[x(t)=Acos(sqrt(k/m)t+phi)+l_0]$
rappresentanti un'oscillazione di ampiezza $[A]$, di pulsazione $[omega=sqrt(k/m)]$ e di centro avente ascissa $[l_0]$. In ogni modo, ammesso che il moto sia oscillatorio, per comprendere che l'accelerazione è nulla al centro e massima agli estremi, non è necessario risolvere l'equazione differenziale, basta considerare $[mddotx=-k(x-l_0)]$.
quindi in pratica, se ho un un'accelerazione $a=\omega x(t)$ ottengo un moto nel quale variano posizione e velocità lineare, se invece assumo il segno negativo la posizione è rilegata in una traettoria circolare, giusto?...
ah volevo anche chiedere aiuto su un problema riguardante il moto armonico:
Un blocco di massa m=1kg è collegato a 2 molle di costanti $k1=1000 N/m$ e $k2=1500 N/m$, l'intero sistema giace su un piano orizzontale e il blocco si trova in un punto x0 nel quale le 2 molle sono a riposo, ad un certo istante t il blocco viene spostato di $x=30cm$ da $x_0$ dalla parte della molla con costante $k_2$, calcolare la massima $E_k$ del sistema e la coordinata $x_s$ in cui il blocco inverte il senso di marcia...
io ho impostato la conservazione dell'energia meccanica, laddove all'inizio c'è solo energia potenziale data dalle 2 molle, nel punto $x_0$ che è quello in cui le molle sono a riposo e nel quale la velocità del sistema è massima, l'energia meccanica è data da $E_m=E_k=1/2 mv^2$, eguagliando trovo v, successivamente per trovare la coordinata $X_s$, ho assunto anche qui la conservazione dell'energia cinetica, partendo da $x_0$ ho che l'energia meccanica è uguale all'energia cinetica di prima, ma concettualmente considerando che l'energia meccanica si conserva ottengo che il blocco si ferma ad una distanza $d=0.30 cm$, per verificare ho calcolato l'accelerazione data dalle 2 molle, questa accelerazione è $a=(k_1x+k_2x)/m$, ed ho calcolato il tempo che la velocità iniziale impiega ad annullarsi ed ho calcolato secondo questo tempo la posizione data dalla legge oraria $x(t)=x_0+v_0t-1/2at^2$ (Dove $x_0=0$)visto che l'accelerazione quando il blocco si sposta dalla parte della molla di costante k_1 è negativa, ed ho calcolato un valore di 0,45 cm, ora volevo sapere se è giusto il primo ragionamento secondo la conservazione o devo considerare la legge oraria del moto del blocchetto?...
Un blocco di massa m=1kg è collegato a 2 molle di costanti $k1=1000 N/m$ e $k2=1500 N/m$, l'intero sistema giace su un piano orizzontale e il blocco si trova in un punto x0 nel quale le 2 molle sono a riposo, ad un certo istante t il blocco viene spostato di $x=30cm$ da $x_0$ dalla parte della molla con costante $k_2$, calcolare la massima $E_k$ del sistema e la coordinata $x_s$ in cui il blocco inverte il senso di marcia...
io ho impostato la conservazione dell'energia meccanica, laddove all'inizio c'è solo energia potenziale data dalle 2 molle, nel punto $x_0$ che è quello in cui le molle sono a riposo e nel quale la velocità del sistema è massima, l'energia meccanica è data da $E_m=E_k=1/2 mv^2$, eguagliando trovo v, successivamente per trovare la coordinata $X_s$, ho assunto anche qui la conservazione dell'energia cinetica, partendo da $x_0$ ho che l'energia meccanica è uguale all'energia cinetica di prima, ma concettualmente considerando che l'energia meccanica si conserva ottengo che il blocco si ferma ad una distanza $d=0.30 cm$, per verificare ho calcolato l'accelerazione data dalle 2 molle, questa accelerazione è $a=(k_1x+k_2x)/m$, ed ho calcolato il tempo che la velocità iniziale impiega ad annullarsi ed ho calcolato secondo questo tempo la posizione data dalla legge oraria $x(t)=x_0+v_0t-1/2at^2$ (Dove $x_0=0$)visto che l'accelerazione quando il blocco si sposta dalla parte della molla di costante k_1 è negativa, ed ho calcolato un valore di 0,45 cm, ora volevo sapere se è giusto il primo ragionamento secondo la conservazione o devo considerare la legge oraria del moto del blocchetto?...
"Ma.Gi.Ca. D":
quindi in pratica, se ho un un'accelerazione $a=\omega x(t)$ ottengo un moto nel quale variano posizione e velocità lineare, se invece assumo il segno negativo la posizione è rilegata in una traettoria circolare, giusto?...
Io ho capito che in questo secondo caso il moto è rettilineo, ma compreso tra due estremi.
La forza elastica è una forza di richiamo e quindi il verso è opposto a quello dello spostamento.
Il verso della forza credo sia uguale a quello della accelerazione che produce, dunque anche la accelerazione in un moto armonico, o comunque in un moto generato da forze di richiamo, ha verso opposto a quello dello spostamento.
Dico bene speculor?
"gio73":
Dico bene speculor?
In una dimensione:
$[ddotx-omega^2x=0] rarr [x(t)=c_1e^(-omegat)+c_2e^(omegat)] ^^ [omega>0]$
$\{(x(0)=x_0),(dotx(0)=dotx_0):} rarr \{(c_1+c_2=x_0),(c_1-c_2=-dotx_0/omega):} rarr \{(c_1=1/2(x_0-dotx_0/omega)),(c_2=1/2(x_0+dotx_0/omega)):}$
$[ddotx-omega^2x=0] rarr [x(t)=1/2(x_0-dotx_0/omega)e^(-omegat)+1/2(x_0+dotx_0/omega)e^(omegat)]$
$lim_(t->+oo)[x(t)]=lim_(t->+oo)[1/2(x_0-dotx_0/omega)e^(-omegat)+1/2(x_0+dotx_0/omega)e^(omegat)]=\{([x_0+dotx_0/omega>0] rarr [+oo]),([x_0+dotx_0/omega=0] rarr [0]),([x_0+dotx_0/omega<0] rarr [-oo]):}$
In definitiva, eccezion fatta per le condizioni iniziali che soddisfano la condizione $[x_0+dotx_0/omega=0]$, in questo caso la massa puntiforme si muove inizialmente verso l'origine e qui si ferma per l'effetto della forza frenante, il moto rettilineo si estende sempre all'infinito.
capisco... e per quanto riguarda il mio problema?...
Si tratta del moto armonico di un punto di massa $[m]$ attaccato ad una molla di costante elastica $[k_1+k_2]$:
$[x(t)=Acos(omegat+phi)] ^^ [omega^2=(k_1+k_2)/m]$
Non puoi utilizzare le formule relative al moto uniformemente accelerato, l'accelerazione non è costante.
$[x(t)=Acos(omegat+phi)] ^^ [omega^2=(k_1+k_2)/m]$
"Ma.Gi.Ca. D":
...ed ho calcolato secondo questo tempo la posizione data dalla legge oraria $[x(t)=x_0+v_0t-1/2at^2]$...
Non puoi utilizzare le formule relative al moto uniformemente accelerato, l'accelerazione non è costante.
"speculor":
Si tratta del moto armonico di un punto di massa $[m]$ attaccato ad una molla di costante elastica $[k_1+k_2]$:
$[x(t)=Acos(omegat+phi)] ^^ [omega^2=(k_1+k_2)/m]$
[quote="Ma.Gi.Ca. D"]
...ed ho calcolato secondo questo tempo la posizione data dalla legge oraria $[x(t)=x_0+v_0t-1/2at^2]$...
Non puoi utilizzare le formule relative al moto uniformemente accelerato, l'accelerazione non è costante.[/quote]
no infatti riflettendoci non era possibile, e poi siccome questo sistema lo posso approssimare ad uno costituito da una singola molla, se questa molla la comprimo di $x0=0.3$ continuerà a produrre un moto con $A=0.30$...
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