Accelerazione lungo parabola
Si consideri su un piano orizzontale una guida liscia di forma parabolica, rappresentata
dall'equazione $y=5x^2$, con x y espressi in metri. Un punto P si muove con velocità
di modulo costante $|vecv0|=1 m/s$ lungo la guida. Determinare le componenti dell'accelerazione
quando il punto P passa per il vertice della parabola e per il punto di ascissa 0,1m.
La guida alla risoluzione mi propone di considerare l'angolo con l'ascissa $alpha : tg(alpha)=(deltay)/(deltax)$
quindi ricavare $v_x(x) $e$ v_y(y)$ ma francamente non capisco
dall'equazione $y=5x^2$, con x y espressi in metri. Un punto P si muove con velocità
di modulo costante $|vecv0|=1 m/s$ lungo la guida. Determinare le componenti dell'accelerazione
quando il punto P passa per il vertice della parabola e per il punto di ascissa 0,1m.
La guida alla risoluzione mi propone di considerare l'angolo con l'ascissa $alpha : tg(alpha)=(deltay)/(deltax)$
quindi ricavare $v_x(x) $e$ v_y(y)$ ma francamente non capisco
Risposte
Il mio consiglio è di usare un sistema di riferimento locale, ossia le equazioni intrinseche.
Così facendo, ottieni facilmente il vettore accelerazione, espresso rispetto a questo sistema di riferimento, ossia:
$veca=ddot svect-dots^2/(rho(s))vecn$, dove $rho(s)$ è il raggio di curvatura; se poi $ddot s=0$...
Così facendo, ottieni facilmente il vettore accelerazione, espresso rispetto a questo sistema di riferimento, ossia:
$veca=ddot svect-dots^2/(rho(s))vecn$, dove $rho(s)$ è il raggio di curvatura; se poi $ddot s=0$...
non so se dico una corbelleria,ma prova a giocare con le equazioni del moto parabolico(quello di un proiettile per intenderci),prima però dovresti definire la posizione del vertice nello spazio...
"remo":
non so se dico una corbelleria,ma prova a giocare con le equazioni del moto parabolico(quello di un proiettile per intenderci),prima però dovresti definire la posizione del vertice nello spazio...
Il proiettile nel nostro caso ha velocità costante in modulo, nel moto parabolico no.
si vero...nel moto di un proiettile solo la componente sulle x è cost.
"cavallipurosangue":
Il mio consiglio è di usare un sistema di riferimento locale, ossia le equazioni intrinseche.
Così facendo, ottieni facilmente il vettore accelerazione, espresso rispetto a questo sistema di riferimento, ossia:
$veca=ddot svect-dots^2/(rho(s))vecn$, dove $rho(s)$ è il raggio di curvatura; se poi $ddot s=0$...
Comunque, vediamo, di portarlo in fondo...
Un modo potrebbe essere anche:
$veca(x)=dots^2 (d\vect)/(ds)=dots^2(1)/(sqrt(1+4x^2))(dvect)/(dx)=dots^2/(1+4x^2)^2((-4x),(2))
io non ho mai fatto ne visto qualcosa del genere...già il fatto che la v è costante mi ha messo in crisi!
avevo pensato di ricondurlo ad un moto circolare,ma questo è un moto parabolico!
avevo pensato di ricondurlo ad un moto circolare,ma questo è un moto parabolico!
Si tratta semplicemente di fare delle derivate di vettori normali e tangenti curve...
Casomai dopo se ancora non è chiaro, faccio qualche passaggio in più...
Casomai dopo se ancora non è chiaro, faccio qualche passaggio in più...
"cavallipurosangue":
Il mio consiglio è di usare un sistema di riferimento locale, ossia le equazioni intrinseche.
Così facendo, ottieni facilmente il vettore accelerazione, espresso rispetto a questo sistema di riferimento, ossia:
$veca=ddot svect-dots^2/(rho(s))vecn$, dove $rho(s)$ è il raggio di curvatura; se poi $ddot s=0$...
scusa cavallipurosangue ma
come faccio a calcolare il raggio di curvatura?
e nel secondo modo non capisco come ottieni la radice
si potrebbe trovare il vettore posizione nel punto in questione,e poi derivare per trovare il vettore velocità e accelerazione.conoscendo l'angolo,si sccompone sugli assi trovando le componenti.il problema però è come trovare sto benedetto vettore posizione!? 
Il vettore posizione è semplice se si prende un sistema nel vertice della parabola:
$OP(x)=((x),(x^2))$
$OP(x)=((x),(x^2))$
Comunque mettiamo di avere una rappresentazione parametrica della parabola:
$OP(u)={(x=u),(y=u^2):}$
Dalla geometria si sa che il vettore tangente alla curva è:
$vect=(dOP)/(ds)$, dove $s$ è l'ascissa curvilinea.
Si trova anche che:
$ds=|(dOP)/(du)|du$
Quindi:
$vect=(dOP)/(ds)=(dOP)/(du)1/(|(dOP)/(du)|)$
Questo ci serva per:
$vecv=(dOP)/(dt)=(dOP)/(ds)(ds)/(dt)=dots/(|(dOP)/(du)|)(dOP)/(du)=dotsvect$
Per l'accelerazione:
$veca=(dvecv)/(dt)=d/(dt)((dOP)/(dt))=d/(dt)(dots/(|(dOP)/(du)|)(dOP)/(du))=ddot s\vect+dots^2(dvect)/(ds)=dots^2Kvecn$, dato che $ddot s=0$
Dove, $K$ è la curvatura
$K=|(dvect)/(ds)|$
Ora troviamo il versore tangente nel nostro caso:
$vect=1/(sqrt(1+4u^2))((1),(2u))$
Per cui:
$(dvect)/(ds)=1/sqrt(1+4u^2)(dvect)/(du)=-1/(1+4u^2)^2((4u),(-2))$
Da cui il risultato... basta fare due conti...
$OP(u)={(x=u),(y=u^2):}$
Dalla geometria si sa che il vettore tangente alla curva è:
$vect=(dOP)/(ds)$, dove $s$ è l'ascissa curvilinea.
Si trova anche che:
$ds=|(dOP)/(du)|du$
Quindi:
$vect=(dOP)/(ds)=(dOP)/(du)1/(|(dOP)/(du)|)$
Questo ci serva per:
$vecv=(dOP)/(dt)=(dOP)/(ds)(ds)/(dt)=dots/(|(dOP)/(du)|)(dOP)/(du)=dotsvect$
Per l'accelerazione:
$veca=(dvecv)/(dt)=d/(dt)((dOP)/(dt))=d/(dt)(dots/(|(dOP)/(du)|)(dOP)/(du))=ddot s\vect+dots^2(dvect)/(ds)=dots^2Kvecn$, dato che $ddot s=0$
Dove, $K$ è la curvatura
$K=|(dvect)/(ds)|$
Ora troviamo il versore tangente nel nostro caso:
$vect=1/(sqrt(1+4u^2))((1),(2u))$
Per cui:
$(dvect)/(ds)=1/sqrt(1+4u^2)(dvect)/(du)=-1/(1+4u^2)^2((4u),(-2))$
Da cui il risultato... basta fare due conti...
Io avrei una soluzione meno tecnica.
Poniamo
(1) $y=ax^2$
e siano $(dot(x),dot(y)) ,(ddot(x),ddot(y))$ le componenti della velocita' e dell'accelerazione.
Deve essere:
(2) $dot(x)^2+dot(y)^2=v_o^2$
Derivando due volte la (1) rispetto al tempo t:
$dot(y)=2axdot(x) $, $ddot(y)=2adot(x)^2+2axddot(x)$
Sostituendo in (2):
$dot(x)^2+4a^2x^2dot(x)^2=v_o^2$ da cui
$dot(x)^2=(v_o^2)/(1+4a^2x^2),dot(y)^2=(4a^2x^2v_o^2)/(1+4a^2x^2)$
da cui si deduce che ,per valori finiti di x e per Vo diversa da 0,la componente $dot(x)$ non e' mai nulla.
Derivando ancora la prima di queste due ultime formule abbiamo:
$2dot(x)ddot(x)=(-8a^2xdot(x)v_o^2)/(1+4a^2x^2)^2$
Da cui:
$ddot(x)=-(4a^2xv_o^2)/(1+4a^2x^2)^2$
Pertanto :
$ddot(y)=2a*(v_o^2)/(1+4a^2x^2)+2ax*[-(4a^2xv_o^2)/(1+4a^2x^2)^2]$
In conclusione,facendo qualche calcolo,si trova che le componenti (generiche) dell'accelerazione sono:
$[-(4a^2xv_o^2)/(1+4a^2x^2)^2,(2av_o^2)/(1+4a^2x^2)^2]$
Adesso basta porre a=5,Vo=1 ed una volta x=0 e un'altra x=0.1 per avere quanto richiesto.
Poniamo
(1) $y=ax^2$
e siano $(dot(x),dot(y)) ,(ddot(x),ddot(y))$ le componenti della velocita' e dell'accelerazione.
Deve essere:
(2) $dot(x)^2+dot(y)^2=v_o^2$
Derivando due volte la (1) rispetto al tempo t:
$dot(y)=2axdot(x) $, $ddot(y)=2adot(x)^2+2axddot(x)$
Sostituendo in (2):
$dot(x)^2+4a^2x^2dot(x)^2=v_o^2$ da cui
$dot(x)^2=(v_o^2)/(1+4a^2x^2),dot(y)^2=(4a^2x^2v_o^2)/(1+4a^2x^2)$
da cui si deduce che ,per valori finiti di x e per Vo diversa da 0,la componente $dot(x)$ non e' mai nulla.
Derivando ancora la prima di queste due ultime formule abbiamo:
$2dot(x)ddot(x)=(-8a^2xdot(x)v_o^2)/(1+4a^2x^2)^2$
Da cui:
$ddot(x)=-(4a^2xv_o^2)/(1+4a^2x^2)^2$
Pertanto :
$ddot(y)=2a*(v_o^2)/(1+4a^2x^2)+2ax*[-(4a^2xv_o^2)/(1+4a^2x^2)^2]$
In conclusione,facendo qualche calcolo,si trova che le componenti (generiche) dell'accelerazione sono:
$[-(4a^2xv_o^2)/(1+4a^2x^2)^2,(2av_o^2)/(1+4a^2x^2)^2]$
Adesso basta porre a=5,Vo=1 ed una volta x=0 e un'altra x=0.1 per avere quanto richiesto.
Ciao licio... si in effetti sembra meno tecnica, ma a me sembra forse un po' più "calcolosa", conta poi che dei conti che ho fatto a metà, non servono per la soluzione, li ho solo riportati per completezza...
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