Accelerazione in generale
Ciao a tutti!! Sto studiando gli appunti di fisica 1 ma continuo a non capire il legame tra le varie relazioni matematiche sull'accelerazione che il professore ha ricavato.
Prima abbiamo visto l'accelerazione in componenti polari e viene $a = (ar -rw^2)ur + (2rw + rα)uo$
Il primo termine è la componente radiale che mi dice quanto varia velocità lungo il raggio, mentre il secondo termine tiene conto dell'accelerazione attorno al polo.
Poi abbiamo studiato l'accelerazione in componenti intrinseche quindi $a = aT + ((v^2) /R)n$ .
La componente normale equivale al secondo termine della prima espressione?
E infine in un moto circolare uniforme l'accelerazione in modulo è zero, però la velocità cambia direzione quindi $an = V^2/R$ e ok..
In pratica, come collego le due ultime forme alla prima relazione?
Prima abbiamo visto l'accelerazione in componenti polari e viene $a = (ar -rw^2)ur + (2rw + rα)uo$
Il primo termine è la componente radiale che mi dice quanto varia velocità lungo il raggio, mentre il secondo termine tiene conto dell'accelerazione attorno al polo.
Poi abbiamo studiato l'accelerazione in componenti intrinseche quindi $a = aT + ((v^2) /R)n$ .
La componente normale equivale al secondo termine della prima espressione?
E infine in un moto circolare uniforme l'accelerazione in modulo è zero, però la velocità cambia direzione quindi $an = V^2/R$ e ok..
In pratica, come collego le due ultime forme alla prima relazione?
Risposte
Io l'accelerazione che conosco è questa:
[tex]\vec a = {d \vec v \over dt} = {dv \over dt} {\vec u_t} + \vec \omega \times \vec v = {dv \over dt} \vec u_t + {v^2 \over \rho} \vec u_n[/tex]
Con [tex]\rho[/tex] che indica il raggio di curvatura della traiettoria in ogni punto.
Che è alquanto generale poich'è è semplicemente la derivata vettoriale della velocità.
La tua prima formula non la capisco, le altre invece ok. Ma sei in un sistema di riferimento inerziale?
[tex]\vec a = {d \vec v \over dt} = {dv \over dt} {\vec u_t} + \vec \omega \times \vec v = {dv \over dt} \vec u_t + {v^2 \over \rho} \vec u_n[/tex]
Con [tex]\rho[/tex] che indica il raggio di curvatura della traiettoria in ogni punto.
Che è alquanto generale poich'è è semplicemente la derivata vettoriale della velocità.
La tua prima formula non la capisco, le altre invece ok. Ma sei in un sistema di riferimento inerziale?
Ottengo la prima derivando il vettore velocita $(dr/dt) * ur + r(do/dt) uo$..
Ah! Ho capito, quell'espressione si riferisce al vettore accelerazione espresso derivando esplicitamente il valore della velocità. Tuttavia non capisco appieno i tuoi risultati. Mi spiego:
[tex]\vec v = {d \vec r \over dt} = {d (r \cdot \vec u_r) \over dt} = {dr \over dt}\cdot \vec u_r + {d \vec u_r \over dt}\cdot r = {dr \over dt}\cdot \vec u_r + \vec \omega \times \vec r[/tex]
[tex]\vec a = {d \vec v \over dt} = {d \over dt} ({dr \over dt}\cdot \vec u_r + \vec \omega \times \vec r) = {d \over dt} ({dr \over dt}\cdot \vec u_r) + {d \over dt}( \vec \omega \times \vec r) =[/tex][tex]{d^2 r \over dt^2}\cdot \vec u_r + \vec \omega \times \vec u_r \cdot {dr \over dt} + {d \vec \omega \over dt} \times \vec r + \vec \omega \times {d \vec r \over dt} = {\alpha}_r \cdot \vec u_r + \omega v_r \cdot \vec u_t + {\alpha}_{\theta}r \cdot \vec u_t + \omega v \cdot (- \vec u_r) =[/tex][tex]({\alpha}_r - \omega v) \cdot \vec u_r + (\omega v_r + {\alpha}_{\theta}r) \cdot \vec u_t[/tex]
Fin qui mi sembra ok, ma i termini fra parentesi non sono uguali ai tuoi. Mi sai dire come li hai ricavati? Ad esempio quel [tex]2rw[/tex]?
In ogni caso tornando alla tua domanda, secondo me la componente normale dell'accelerazione è la prima parte della prima equazione.
[tex]\vec v = {d \vec r \over dt} = {d (r \cdot \vec u_r) \over dt} = {dr \over dt}\cdot \vec u_r + {d \vec u_r \over dt}\cdot r = {dr \over dt}\cdot \vec u_r + \vec \omega \times \vec r[/tex]
[tex]\vec a = {d \vec v \over dt} = {d \over dt} ({dr \over dt}\cdot \vec u_r + \vec \omega \times \vec r) = {d \over dt} ({dr \over dt}\cdot \vec u_r) + {d \over dt}( \vec \omega \times \vec r) =[/tex][tex]{d^2 r \over dt^2}\cdot \vec u_r + \vec \omega \times \vec u_r \cdot {dr \over dt} + {d \vec \omega \over dt} \times \vec r + \vec \omega \times {d \vec r \over dt} = {\alpha}_r \cdot \vec u_r + \omega v_r \cdot \vec u_t + {\alpha}_{\theta}r \cdot \vec u_t + \omega v \cdot (- \vec u_r) =[/tex][tex]({\alpha}_r - \omega v) \cdot \vec u_r + (\omega v_r + {\alpha}_{\theta}r) \cdot \vec u_t[/tex]
Fin qui mi sembra ok, ma i termini fra parentesi non sono uguali ai tuoi. Mi sai dire come li hai ricavati? Ad esempio quel [tex]2rw[/tex]?
In ogni caso tornando alla tua domanda, secondo me la componente normale dell'accelerazione è la prima parte della prima equazione.
Più in generale la tua seconda formula la ricavi, come ti ho fatto vedere nel mio primo post, derivando il vettore velocità senza "esplicitarlo". Ti verrà quindi una componente tangenziale, il primo termine della formula, e una componente normale.
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