Accelerazione in coordinate polari
Salve. Avendo il vettore velocità in coordinate polari dato da
$\vec v = (dr)/(dt)\hat u_t + r(d\theta)/(dt)\hat u_\theta $
lo derivo rispetto al tempo per ottenere il vettore accelerazione in coordinate polari. Questo è quello che ho fatto io:
$\vec a = (d)/(dt)[(dr)/(dt)\hat u_t + r(d\theta)/(dt)\hat u_\theta] = $
$= (d)/(dt)[(dr)/(dt)\hat u_t] + (d)/(dt)[r(d\theta)/(dt)\hat u_\theta] = $
$= [(d)/(dt)((dr)/(dt))]\hat u_t + [(d)/(dt)(\hat u_t)]((dr)/dt) + r{[(d)/(dt)((d\theta)/(dt))]\hat u_\theta + [(d)/(dt)(\hat u_theta)]((d\theta)/dt)} $.
Sapendo che
$(d)/(dt)(\hat u_t) = (d\theta)/(dt)\hat u_\theta $ e
$(d)/(dt)(\hat u_theta) = -(d\theta)/(dt)\hat u_\t$
avrò:
$\vec a = (d^2r)/(dt^2)\hat u_t + ((dr)/dt)((d\theta)/(dt))\hat u_\theta + r(d^2\theta)/(dt^2)\hat u_\theta - r((d\theta)/dt)((d\theta)/(dt))\hat u_\t$
Se chiamo $(d^2r)/(dt^2) = ddot\r$, $(dr)/(dt) = dot\r$, $(d^2\theta)/(dt^2) = ddot\theta$, $(d\theta)/(dt) = dot\theta$
ho che
$\vec a = (ddot\r - rdot\theta^2)\hat u_t + (dot\rdot\theta + rddot\theta)\hat u_theta $
Dove sbaglio? La formula riportata sul libro è
$\vec a = (ddot\r - rdot\theta^2)\hat u_t + (2dot\rdot\theta + rddot\theta)\hat u_theta $
$\vec v = (dr)/(dt)\hat u_t + r(d\theta)/(dt)\hat u_\theta $
lo derivo rispetto al tempo per ottenere il vettore accelerazione in coordinate polari. Questo è quello che ho fatto io:
$\vec a = (d)/(dt)[(dr)/(dt)\hat u_t + r(d\theta)/(dt)\hat u_\theta] = $
$= (d)/(dt)[(dr)/(dt)\hat u_t] + (d)/(dt)[r(d\theta)/(dt)\hat u_\theta] = $
$= [(d)/(dt)((dr)/(dt))]\hat u_t + [(d)/(dt)(\hat u_t)]((dr)/dt) + r{[(d)/(dt)((d\theta)/(dt))]\hat u_\theta + [(d)/(dt)(\hat u_theta)]((d\theta)/dt)} $.
Sapendo che
$(d)/(dt)(\hat u_t) = (d\theta)/(dt)\hat u_\theta $ e
$(d)/(dt)(\hat u_theta) = -(d\theta)/(dt)\hat u_\t$
avrò:
$\vec a = (d^2r)/(dt^2)\hat u_t + ((dr)/dt)((d\theta)/(dt))\hat u_\theta + r(d^2\theta)/(dt^2)\hat u_\theta - r((d\theta)/dt)((d\theta)/(dt))\hat u_\t$
Se chiamo $(d^2r)/(dt^2) = ddot\r$, $(dr)/(dt) = dot\r$, $(d^2\theta)/(dt^2) = ddot\theta$, $(d\theta)/(dt) = dot\theta$
ho che
$\vec a = (ddot\r - rdot\theta^2)\hat u_t + (dot\rdot\theta + rddot\theta)\hat u_theta $
Dove sbaglio? La formula riportata sul libro è
$\vec a = (ddot\r - rdot\theta^2)\hat u_t + (2dot\rdot\theta + rddot\theta)\hat u_theta $
Risposte
"Deneb17":
Salve. Avendo il vettore velocità in coordinate polari dato da
$\vec v = (dr)/(dt)\hat u_t + r(d\theta)/(dt)\hat u_\theta $
lo derivo rispetto al tempo per ottenere il vettore accelerazione in coordinate polari. Questo è quello che ho fatto io:
$\vec a = (d)/(dt)[(dr)/(dt)\hat u_t + r(d\theta)/(dt)\hat u_\theta] = $
$= (d)/(dt)[(dr)/(dt)\hat u_t] + (d)/(dt)[r(d\theta)/(dt)\hat u_\theta] = $
………….
Dove sbaglio? La formula riportata sul libro è
$\vec a = (ddot\r - rdot\theta^2)\hat u_t + (2dot\rdot\theta + rddot\theta)\hat u_theta $
nel derivare il secondo termine del secondo rigo, hai portato $r$ fuori la parentesi graffa (guarda il terzo rigo che hai scritto) , come se fosse costante: non lo è .
Giusto! E quindi come si svolgerebbe?
Devi derivare il secondo termine del secondo rigo tenendo conto che nella parentesi quadra c'è un prodotto di tre funzioni del tempo.
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