Accelerazione di trascinamento - Fisica 1
Buongiorno a tutti,
sono alle prese con l'esame di Fisica 1 (sto ancora agli inizi) e mi trovo in difficoltà a comprendere quali sono le accelerazioni fittizie presenti in un sistema mobile che si muove di moto roto-traslatorio qualsiasi rispetto ad uno inerziale. (Sono 5 giorni che ci sbatto la testa, invano...)
Ho provato a leggere altri 5-6 forum riguardo ai sistemi di riferimento non inerziali, ma nessuno risponde alle mie domande.
Premetto che sto studiando sul Menguccini Silvestrini, so fare prodotti scalati e vettoriali, ottime conoscenze di analisi 1 e 2, e conosco il moto circolare, anche se quello che ho studiato fin'ora non é che mi ha chiarito molto le cose [fino a dove ho studiato parla di moto circolare uniforme e da qualche accenno sulla distinzione fra accelerazione centripeta/centrifuga/tangenziale, ma per esempio non parla minimamente del termine dw/dt (derivata della velocità angolare rispetto al tempo)].
Partiamo a descrivere di cosa sto parlando: ho un sistema inerziale (di assi i,j,k), un sistema mobile (di assi i',j',k') e un punto materiale P che comunque non é solidale ne' col sistema fisso, ne' col sistema mobile.
La Velocità ha equazione:
V = V o-o' + V' + w×r'
Cosa sono questi valori:
V = velocità assoluta (la velocità che é registrata dal sistema inerziale del punto materiale P)
V o-o' = é la velocità con cui O' si muove rispetto ad O (é la velocità registrata dall'osservatore nel s.d.r.i. dell'origine O')
V'= é la velocità del punto P misurata da un osservatore che sta sul sistema mobile
w×r' = velocità con cui ruota il punto rispetto all'origine O', visto da un osservatore che sta sul S.d.r.i. (perché w é la velocità angolare del sistema mobile; r' é il vettore direttore O'-P, dunque il loro prodotto vettoriale é il vettore velocità del punto che si muove di moto (circolare? se si può, passatemi il termine, anche se r' é variabile nel tempo!) e che ci si puo far caso solo se si é nel S.d.r.i: quello che sta sul sistema mobile vede semplicemente il punto che si muove nella traiettoria r' con velocità V', e vede il S.d.r.i ruotargli attorno nel verso opposto di quello che vede l'osservatore su O)
Scusate le "pippe mentali", ma é il ragionamento che ho fatto.
In definitiva la velocità di trascinamento Vt é data da tutti quei fattori che fanno differire la velocità rilevata su O da quella rilevata su O', ovvero:
Vt = V - V' = Vo-o' + w×r’
Ok...fino a qui credo di esserci....ora il bello inizia con le accelerazioni:
Prendendo l'equazione
V = V o-o' + V' + w×r'
scomponendola per i versori i,j,k e i versori i',j',k', derivando rispetto al tempo, si ricava un papocchio che, scrivendolo in termini vettoriali, é:
A = A o-o' + A' + 2(w×V') + dw/dt × r’ + w×w×r'
Cosa indicano singolarmente questi termini?
A = Accelerazione del punto P vista da un osservatore in O
Ao-o'= Accelerazione che ha O' misurata dall'osservatore 0
A' = Accelerazione che ha il punto P misurata da O' ovvero l'accelerazione che vede O' del punto P lungo la tratta r' )
...e qui si inizia la parte per me tosta...
2(w×V) = accelerazione di Coriolis, ovvero...facendo il caso della terra, che comunque ruota con w costante, se mettiamo un osservatore O nello spazio, e facciamo camminare una macchina su una tratta rettilinea dal polo nord all'equatore, la macchina va dritta, ma in base alla latitudine della macchina, l'osservatore nello spazio la vede spostarsi sempre più a sinistra, dovuto all'aumento sempre piu del raggio di distanza tra macchina ed asse terrestre; facciamo finta per semplicità che la terra sia un cilindro, e usiamo sempre la macchina che si muove dal tappo superiore al tappo inferiore...la macchina fa u tratto rettilineo, ma per l'astronauta la tratta é una linea obliqua: va dall'alto a destra a basso e sinistra!... (di questa direzione -> / ) ma dato che w (velocità angolare della lattina) e V' sono allineate, il loro prodotto vettoriale è nullo...dunque la tratta obliqua sarà dovuta da altri due fattori...Giusto?
Passiamo al termine successivo:
dw/dt × r' = qui ho proprio un problema di carattere tecnico.... dw/dt, se w é il vettore di rotazione sull'asse... ma procedendo come nel moto circolare, dove la derivata di r é V, un vettore ruotato di 90° rispetto alla direzione r -> r+dr, qui come faccio a capire qual'é la direzione di w, dato che dw vive sullo stesso asse di w? che simboleggia dw/dt × r' e cosa causa?
Allo stesso modo, w×w×r' é:
1. w×r' è nel caso del moto circolare la velocità tangente alllla circonferenza (chiamiamola Vt)
2. w×Vt....che cosa é?? Che accelerazione rappresenta?
Grazie a tutti in anticipo!
sono alle prese con l'esame di Fisica 1 (sto ancora agli inizi) e mi trovo in difficoltà a comprendere quali sono le accelerazioni fittizie presenti in un sistema mobile che si muove di moto roto-traslatorio qualsiasi rispetto ad uno inerziale. (Sono 5 giorni che ci sbatto la testa, invano...)
Ho provato a leggere altri 5-6 forum riguardo ai sistemi di riferimento non inerziali, ma nessuno risponde alle mie domande.
Premetto che sto studiando sul Menguccini Silvestrini, so fare prodotti scalati e vettoriali, ottime conoscenze di analisi 1 e 2, e conosco il moto circolare, anche se quello che ho studiato fin'ora non é che mi ha chiarito molto le cose [fino a dove ho studiato parla di moto circolare uniforme e da qualche accenno sulla distinzione fra accelerazione centripeta/centrifuga/tangenziale, ma per esempio non parla minimamente del termine dw/dt (derivata della velocità angolare rispetto al tempo)].
Partiamo a descrivere di cosa sto parlando: ho un sistema inerziale (di assi i,j,k), un sistema mobile (di assi i',j',k') e un punto materiale P che comunque non é solidale ne' col sistema fisso, ne' col sistema mobile.
La Velocità ha equazione:
V = V o-o' + V' + w×r'
Cosa sono questi valori:
V = velocità assoluta (la velocità che é registrata dal sistema inerziale del punto materiale P)
V o-o' = é la velocità con cui O' si muove rispetto ad O (é la velocità registrata dall'osservatore nel s.d.r.i. dell'origine O')
V'= é la velocità del punto P misurata da un osservatore che sta sul sistema mobile
w×r' = velocità con cui ruota il punto rispetto all'origine O', visto da un osservatore che sta sul S.d.r.i. (perché w é la velocità angolare del sistema mobile; r' é il vettore direttore O'-P, dunque il loro prodotto vettoriale é il vettore velocità del punto che si muove di moto (circolare? se si può, passatemi il termine, anche se r' é variabile nel tempo!) e che ci si puo far caso solo se si é nel S.d.r.i: quello che sta sul sistema mobile vede semplicemente il punto che si muove nella traiettoria r' con velocità V', e vede il S.d.r.i ruotargli attorno nel verso opposto di quello che vede l'osservatore su O)
Scusate le "pippe mentali", ma é il ragionamento che ho fatto.
In definitiva la velocità di trascinamento Vt é data da tutti quei fattori che fanno differire la velocità rilevata su O da quella rilevata su O', ovvero:
Vt = V - V' = Vo-o' + w×r’
Ok...fino a qui credo di esserci....ora il bello inizia con le accelerazioni:
Prendendo l'equazione
V = V o-o' + V' + w×r'
scomponendola per i versori i,j,k e i versori i',j',k', derivando rispetto al tempo, si ricava un papocchio che, scrivendolo in termini vettoriali, é:
A = A o-o' + A' + 2(w×V') + dw/dt × r’ + w×w×r'
Cosa indicano singolarmente questi termini?
A = Accelerazione del punto P vista da un osservatore in O
Ao-o'= Accelerazione che ha O' misurata dall'osservatore 0
A' = Accelerazione che ha il punto P misurata da O' ovvero l'accelerazione che vede O' del punto P lungo la tratta r' )
...e qui si inizia la parte per me tosta...
2(w×V) = accelerazione di Coriolis, ovvero...facendo il caso della terra, che comunque ruota con w costante, se mettiamo un osservatore O nello spazio, e facciamo camminare una macchina su una tratta rettilinea dal polo nord all'equatore, la macchina va dritta, ma in base alla latitudine della macchina, l'osservatore nello spazio la vede spostarsi sempre più a sinistra, dovuto all'aumento sempre piu del raggio di distanza tra macchina ed asse terrestre; facciamo finta per semplicità che la terra sia un cilindro, e usiamo sempre la macchina che si muove dal tappo superiore al tappo inferiore...la macchina fa u tratto rettilineo, ma per l'astronauta la tratta é una linea obliqua: va dall'alto a destra a basso e sinistra!... (di questa direzione -> / ) ma dato che w (velocità angolare della lattina) e V' sono allineate, il loro prodotto vettoriale è nullo...dunque la tratta obliqua sarà dovuta da altri due fattori...Giusto?
Passiamo al termine successivo:
dw/dt × r' = qui ho proprio un problema di carattere tecnico.... dw/dt, se w é il vettore di rotazione sull'asse... ma procedendo come nel moto circolare, dove la derivata di r é V, un vettore ruotato di 90° rispetto alla direzione r -> r+dr, qui come faccio a capire qual'é la direzione di w, dato che dw vive sullo stesso asse di w? che simboleggia dw/dt × r' e cosa causa?
Allo stesso modo, w×w×r' é:
1. w×r' è nel caso del moto circolare la velocità tangente alllla circonferenza (chiamiamola Vt)
2. w×Vt....che cosa é?? Che accelerazione rappresenta?
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
$vec(v_a)=vec(v_r)+vec(v_Omega)+vec(omega) xx vec(r)$
$vec(v_a)$ è la velocità assoluta del punto materiale rispetto al sdrf (sistema di riferimento fisso)
$vec(v_r)$ è la velocità relativa, ossia la velocità del punto materiale rispetto al sdrm (sistema di riferimento mobile)
$vec(v_Omega) + vec(omega) xx vec(r)$ rappresentano la velocità con cui il sdrm "trascina" il punto materiale, infatti immagina che per un istante il punto sia fermo rispetto al sdrm, in questo istante il punto viene "trascinato" dal sdrm rispetto al sdrf con una certa velocità dovuta dalla traslazione del sdrm rispetto al sdrf (ossia $vec(v_Omega)$) e con una velocità dovuta alla rotazione dell'orientazione del sdrm rispetto all'orientazione fissa del sdrf, (ossia $vec(omega) xx vec(r)$).
Fin qui mi sembra tutto chiaro e mi sembra che anche tu lo abbia capito, passo alle accelerazioni:
$vec(a_a)=vec(a_r)+vec(a_Omega)+(dvec(omega))/(dt)xx vec(r)+vec(omega) xx (vec(omega)xx vec(r))+2vec(omega)xxvec(v_r)$
$vec(a_a)$ è l'accelerazione assoluta vista rispetto al sdrf
$vec(a_r)$ è l'accelerazione relativa vista nel sdrm
Passiamo ora all'accelerazione di trascinamento: $vec(a_Omega)+(dvec(omega))/(dt)xx vec(r)+vec(omega) xx (vec(omega)xx vec(r))$
Questi sono i termini che rappresentano l'accelerazione con cui il sdrm "trascina" con sé il punto rispetto rispetto al sdrf.
Immagina un punto materiale FERMO rispetto al sdrm, i che modo il sdrm trascina il punto materiale? lo trascina con un moto di traslazione rispetto al sdrf e con un moto di rotazione rispetto al sdrf. Il moto di traslazione del sdrm rispetto al sdrf determina il fatto che un osservatore nel sdrf percepisce che il punto materiale sta accelerando con la stessa accelerazione del sdrm rispetto al sdrf, quindi percepisce che il punto materiale ha una accelerazione $a_Omega$, ossia l'accelerazione del sdrm rispetto al sdrf. Il moto di rotazione del sdrm rispetto al sdrf determina due altra accelerazioni di trascinamento. Immagina che il sdrm sia fermo rispetto al sdrf e ruoti rispetto ad esso ed immagina che un punto materiale sia fermo nel sdrm, In che modo il punto materiale viene trascinato dal sdrm che ruota? come detto per le velocità prima, il fatto che il sdrm ruoti determina che il punto materiale assume una velocità $omega xx r$, questa in sostanza non è altra che la velocità di un punto che ruota istantaneamente su una circonferenza, come sai, quando un corpo si muove su una traiettoria curva possiede due accelerazione, una accelerazione tangenziale dovuta alla variazione della sua velocità in modulo e una accelerazione centripeta dovuta alla variazione della sua velocità in direzione, l'accelerazione tangenziale istantanea del corpo dovuta alla rotazione del sdrm è data dal fattore $(dvec(omega))/(dt)xx vec(r)$, il vettore $(dvec(omega))/(dt)$ rappresenta l'accelerazione angolare $vec(alpha)$, il vettore accelerazione angolare $vec(alpha)$ è un vettore che ha la STESSA DIREZIONE del vettore velocità angolare $vec(omega)$ e ha modulo paria alla derivata nel tempo del MODULO della velocità angolare $(domega)/(dt)$.
Il termine $vec(omega)xx(vec(omega) xx vec(r))$ invece rappresenta l'accelerazione centripeta del moto del punto dovuto alla rotazione del sdrm. In questa scrittura è un po' difficile capirlo ma usando le proprietà del doppio prodotto vettoriale si verifica facilmente che $vec(omega)xx(vec(omega) xx vec(r))=-omega^2vec(r)$. che non è altro che il modulo dell'accelerazione centripeta in un moto istantaneo attorno a una circonferenza.
$vec(v_a)$ è la velocità assoluta del punto materiale rispetto al sdrf (sistema di riferimento fisso)
$vec(v_r)$ è la velocità relativa, ossia la velocità del punto materiale rispetto al sdrm (sistema di riferimento mobile)
$vec(v_Omega) + vec(omega) xx vec(r)$ rappresentano la velocità con cui il sdrm "trascina" il punto materiale, infatti immagina che per un istante il punto sia fermo rispetto al sdrm, in questo istante il punto viene "trascinato" dal sdrm rispetto al sdrf con una certa velocità dovuta dalla traslazione del sdrm rispetto al sdrf (ossia $vec(v_Omega)$) e con una velocità dovuta alla rotazione dell'orientazione del sdrm rispetto all'orientazione fissa del sdrf, (ossia $vec(omega) xx vec(r)$).
Fin qui mi sembra tutto chiaro e mi sembra che anche tu lo abbia capito, passo alle accelerazioni:
$vec(a_a)=vec(a_r)+vec(a_Omega)+(dvec(omega))/(dt)xx vec(r)+vec(omega) xx (vec(omega)xx vec(r))+2vec(omega)xxvec(v_r)$
$vec(a_a)$ è l'accelerazione assoluta vista rispetto al sdrf
$vec(a_r)$ è l'accelerazione relativa vista nel sdrm
Passiamo ora all'accelerazione di trascinamento: $vec(a_Omega)+(dvec(omega))/(dt)xx vec(r)+vec(omega) xx (vec(omega)xx vec(r))$
Questi sono i termini che rappresentano l'accelerazione con cui il sdrm "trascina" con sé il punto rispetto rispetto al sdrf.
Immagina un punto materiale FERMO rispetto al sdrm, i che modo il sdrm trascina il punto materiale? lo trascina con un moto di traslazione rispetto al sdrf e con un moto di rotazione rispetto al sdrf. Il moto di traslazione del sdrm rispetto al sdrf determina il fatto che un osservatore nel sdrf percepisce che il punto materiale sta accelerando con la stessa accelerazione del sdrm rispetto al sdrf, quindi percepisce che il punto materiale ha una accelerazione $a_Omega$, ossia l'accelerazione del sdrm rispetto al sdrf. Il moto di rotazione del sdrm rispetto al sdrf determina due altra accelerazioni di trascinamento. Immagina che il sdrm sia fermo rispetto al sdrf e ruoti rispetto ad esso ed immagina che un punto materiale sia fermo nel sdrm, In che modo il punto materiale viene trascinato dal sdrm che ruota? come detto per le velocità prima, il fatto che il sdrm ruoti determina che il punto materiale assume una velocità $omega xx r$, questa in sostanza non è altra che la velocità di un punto che ruota istantaneamente su una circonferenza, come sai, quando un corpo si muove su una traiettoria curva possiede due accelerazione, una accelerazione tangenziale dovuta alla variazione della sua velocità in modulo e una accelerazione centripeta dovuta alla variazione della sua velocità in direzione, l'accelerazione tangenziale istantanea del corpo dovuta alla rotazione del sdrm è data dal fattore $(dvec(omega))/(dt)xx vec(r)$, il vettore $(dvec(omega))/(dt)$ rappresenta l'accelerazione angolare $vec(alpha)$, il vettore accelerazione angolare $vec(alpha)$ è un vettore che ha la STESSA DIREZIONE del vettore velocità angolare $vec(omega)$ e ha modulo paria alla derivata nel tempo del MODULO della velocità angolare $(domega)/(dt)$.
Il termine $vec(omega)xx(vec(omega) xx vec(r))$ invece rappresenta l'accelerazione centripeta del moto del punto dovuto alla rotazione del sdrm. In questa scrittura è un po' difficile capirlo ma usando le proprietà del doppio prodotto vettoriale si verifica facilmente che $vec(omega)xx(vec(omega) xx vec(r))=-omega^2vec(r)$. che non è altro che il modulo dell'accelerazione centripeta in un moto istantaneo attorno a una circonferenza.
"Vulplasir":
...
Grazie mille Vulplasir, sei stato davvero illuminante. In poche parole w é un autovettore, e perció la sua derivata vive nella sua stessa direzione! Questo perché: w é un vettore che descrive le velocità del moto circolare, tangenti alla traiettoria: questi vettori vivono sul piano a lui perpendicolare! Allo stesso modo, dw/dt misura la variazione di w, ma contemporaneamente é la variazionne dei vettori velocità lungo la tangente della tratta circolare (cioé le accelerazioni tangenziali) che giaciono anche quelle sul piano dove vivono le velocità! Dunque scrivere dw/dt é indirettamente dire che in realtà stiamo studiando tutti i vettori dV'/dt lungo la tangente della circonferenza: il vero soggetto che stiamo studiando non é w...ma sono le velocità che poi vengono associate ad w! Penso che ciò comunque verrà spiegato sul libro più in la (da ignorante, immagino magari quando entrano in gioco gli attriti), ma comunque sei stato davvero tanto...tanto di aiuto! Grazie mille e buon proseguimento di giornata!
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