Accelerazione di gravità variabile
Salve a tutti! Sto studiando le leggi della gravitazione universale di Newton e mi sono "creato" un problema.
Vedendo il calcolo dell'accelerazione di gravità terrestre ho pensato di calcolare il valore dell'accelerazione che IO imprimo ad un corpo (supponendo che la massa del corpo preso in considerazione sia trascurabile rispetto alla mia,così da rendere trascurabile l'attrazione che questo corpo può avere su di me).
con $a=G*(m/r^2)$ posso calcolare l'accelerazione gravitazionale che io imprimo ad un corpo che dista da me di una distanza $r$
(dove $a$ è l'accelerazione di gravità, $G$ è la costante di gravitazione e $r$ è la distanza
Ora supponiamo di voler calcolare la velocità con cui quel corpo arriverà a noi, tenendo conto che l'accelerazione gravitazionale che io imprimo al corpo è variabile,più precisamente aumenta al diminuire del quadrato della distanza (non so se ho reso bene l'idea)
Un discorso analogo può essere fatto con l'accelerazione gravitazionale terrestre. Nei problemi che ci hanno sempre proposto a scuola la si considerava costante,sempre pari a $9.81$
Un corpo in caduta libera quando raggiunge il suolo,quindi,raggiungeva una velocità $v=a*t$ (dove $t$ è il tempo)
Ma questa formula non tiene in considerazione il fatto che $a$ cambia costantemente.
Avevo pensato di considerare "l'accelerazione dell'accelerazione di gravità", ma non so come procedere.
Spero di essere stato abbastanza chiaro, ammetto che dovrei migliorare nell'esposizione.
Vedendo il calcolo dell'accelerazione di gravità terrestre ho pensato di calcolare il valore dell'accelerazione che IO imprimo ad un corpo (supponendo che la massa del corpo preso in considerazione sia trascurabile rispetto alla mia,così da rendere trascurabile l'attrazione che questo corpo può avere su di me).
con $a=G*(m/r^2)$ posso calcolare l'accelerazione gravitazionale che io imprimo ad un corpo che dista da me di una distanza $r$
(dove $a$ è l'accelerazione di gravità, $G$ è la costante di gravitazione e $r$ è la distanza
Ora supponiamo di voler calcolare la velocità con cui quel corpo arriverà a noi, tenendo conto che l'accelerazione gravitazionale che io imprimo al corpo è variabile,più precisamente aumenta al diminuire del quadrato della distanza (non so se ho reso bene l'idea)
Un discorso analogo può essere fatto con l'accelerazione gravitazionale terrestre. Nei problemi che ci hanno sempre proposto a scuola la si considerava costante,sempre pari a $9.81$
Un corpo in caduta libera quando raggiunge il suolo,quindi,raggiungeva una velocità $v=a*t$ (dove $t$ è il tempo)
Ma questa formula non tiene in considerazione il fatto che $a$ cambia costantemente.
Avevo pensato di considerare "l'accelerazione dell'accelerazione di gravità", ma non so come procedere.
Spero di essere stato abbastanza chiaro, ammetto che dovrei migliorare nell'esposizione.
Risposte
Nel caso della caduta libera di un corpo al suolo il fatto di considerare l'accelerazione costante spesso è un'ottima approssimazione, quando le distanze in gioco sono molto piccole rispetto al raggio della Terra (questo ad esempio è verificato nel caso di un corpo che cade da una torre (*), ma non nel caso di un satellite in orbita geostazionaria).
Il caso generale, dato che l'accelerazione dipende dalla posizione, è più complicato: l'approccio più diretto, usando la legge di Newton:
$ F = ma $
si traduce, nel caso in cui il corpo che genera il campo sia sferico, in una equazione differenziale difficilmente risolubile a mano:
$ m (d^2 r) / (d t^2) = (G M m) / r^2 $,
dove $M$ è la massa del corpo che genera il campo di gravità e $m$ è la massa del corpo in caduta (che ovviamente alla fine si semplifica e come conseguenza ha il fatto che tutti i corpi cadono nello stesso modo).
Fortunatamente non è necessario risolvere queste equazioni per trovare il moto del corpo, ma si può usare il principio di conservazione dell'energia: la somma dell'energia cinetica, $1/2 m v^2$ e gravitazionale $- (M m G) / r$,
$ E(r) = 1/2 m v^2 - M m G / r $
si conserva.
Supponiamo che il corpo in caduta parta da fermo ad una distanza $R$ dal centro del corpo che genera il campo e supponiamo che $S$ sia il raggio del corpo che genera il campo ($S$ potrebbe essere il raggio della Terra ad esempio).
Allora si ha che l'energia totale del corpo in $R$ deve essere uguale all'energia in $S$:
$ E(R) = E(S) $ (1),
dato che $v = 0$ in $R$ si ha:
$ E(R) = M m G / R $
e in $S$ abbiamo:
$ E(S) = 1/2 m v^2 + M m G / S $
quindi sostituendo nella (1) ottiene che la velocità del corpo al momento dell'impatto è:
$ v = \sqrt{2 G (M R - M S)/(S R)} $
---
(*) dove in realtà ci sono altri effetti molto più rilevanti del cambio nell'accelerazione di gravità di cui tenere conto per migliorare l'accuratezza dei conti rispetto all'approssimazione $g = 9.80665 m / s^2$.
Il caso generale, dato che l'accelerazione dipende dalla posizione, è più complicato: l'approccio più diretto, usando la legge di Newton:
$ F = ma $
si traduce, nel caso in cui il corpo che genera il campo sia sferico, in una equazione differenziale difficilmente risolubile a mano:
$ m (d^2 r) / (d t^2) = (G M m) / r^2 $,
dove $M$ è la massa del corpo che genera il campo di gravità e $m$ è la massa del corpo in caduta (che ovviamente alla fine si semplifica e come conseguenza ha il fatto che tutti i corpi cadono nello stesso modo).
Fortunatamente non è necessario risolvere queste equazioni per trovare il moto del corpo, ma si può usare il principio di conservazione dell'energia: la somma dell'energia cinetica, $1/2 m v^2$ e gravitazionale $- (M m G) / r$,
$ E(r) = 1/2 m v^2 - M m G / r $
si conserva.
Supponiamo che il corpo in caduta parta da fermo ad una distanza $R$ dal centro del corpo che genera il campo e supponiamo che $S$ sia il raggio del corpo che genera il campo ($S$ potrebbe essere il raggio della Terra ad esempio).
Allora si ha che l'energia totale del corpo in $R$ deve essere uguale all'energia in $S$:
$ E(R) = E(S) $ (1),
dato che $v = 0$ in $R$ si ha:
$ E(R) = M m G / R $
e in $S$ abbiamo:
$ E(S) = 1/2 m v^2 + M m G / S $
quindi sostituendo nella (1) ottiene che la velocità del corpo al momento dell'impatto è:
$ v = \sqrt{2 G (M R - M S)/(S R)} $
---
(*) dove in realtà ci sono altri effetti molto più rilevanti del cambio nell'accelerazione di gravità di cui tenere conto per migliorare l'accuratezza dei conti rispetto all'approssimazione $g = 9.80665 m / s^2$.
Chiaro! Grazie!
in realtà comunque l'equazione del moto per corpi gravitazionali sferici o puntiformi si risolve esattamente ( nel senso "a mano"), ed è così infatti che si dimostrano le leggi di keplero (orbite coniche, quadrato del periodo proprozionale al cubo semiassi, conservazione del momento angolare e quindi orbite piane, anche se quest'ultima si può derivare anche senza risolvere l'equazione del moto...).
Se ti interessa solo la velocità in funzione della distanza è corretto e più semplice come ti ha detto david_e utilizzare la conservazione dell'energia, tieni pressente che se invece i tuoi corpi non sono puntiformi invece scrivere un energia potenziale diventa complicato,e talvolta, specie se i due corpi hanno massa simile o se hai molti corpi, la via numerica è l'unica possibile.
Se ti interessa solo la velocità in funzione della distanza è corretto e più semplice come ti ha detto david_e utilizzare la conservazione dell'energia, tieni pressente che se invece i tuoi corpi non sono puntiformi invece scrivere un energia potenziale diventa complicato,e talvolta, specie se i due corpi hanno massa simile o se hai molti corpi, la via numerica è l'unica possibile.
Mi ritrovo a "riesumare" un problema ormai sepolto da tempo. Ho deciso di riaprire questa discussione per la tesina d'esame (il cui tema sono "le variazioni infinitesimali" )...vorrei descrivere il campo gravitazionale con l'accelerazione di gravità variabile (anche di 2 soli pianeti) o anche più in generale l'interazione gravitazionale tra 2 copri sferici o puntiformi...Dovrei studiare le equazioni differenziali elementari,almeno quelle più semplici (che non rientrano nel programma,ma penso siano molto importanti)...vi chiedo se posso considerare un caso particolare o elementare da descrivere attraverso una "semplice" equazione differenziale...potreste aiutarmi? grazie!
ps premetto che delle equazioni differenziali non so ancora niente,ma mi rifarò presto,dopo aver finito con gli integrali
ps premetto che delle equazioni differenziali non so ancora niente,ma mi rifarò presto,dopo aver finito con gli integrali
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