Accelerazione di gravità e forza centrifuga
Ho un dubbio che mi attanaglia da qualche giorno e a cui non riesco a dare una risposta... so che l'accelerazione di gravità varia con la latitudine a causa della forza centrifuga generata dalla rotazione della Terra intorno al proprio asse. Questa forza è diretta perpendicolarmente all'asse verso l'esterno e la sua intensità è proporzionale alla distanza del punto di applicazione dall'asse medesimo. Componendosi vettorialmente con la forza di gravità vera e propria, la forza centrifuga fa sì che la gravità "misurabile" non sia diretta verso il centro della Terra, ma lungo la verticale locale, e abbia un'intensità inferiore al valore teorico di 9.8 m/s^2 (opponendosi, in verso, all'attrazione gravitazionale). Ora, la mia domanda è: ma per una particella che ruota solidalmente con la Terra, oltre alla forza centrifuga, non deve esservi anche una forza centripeta uguale e opposta, di modo che l'effetto della forza centrifuga venga annullato? D'altra parte, tale particella, ruotando attorno all'asse terrestre, percorre una traiettoria circolare, il ché, a quanto ne so io, è reso possibile solo dalla presenza di una forza centripeta. Perchè questa forza non viene considerata? Inoltre, qual è, se esiste, la sua natura? In altre parole, che tipo di forza è la forza centripeta che agisce sulla particella?
Risposte
Fai la classica confusione tra sistemi di riferimenti inerziali (dove non esiste alcuna forza centrifuga) e non.
E' un argomento stra-trattato se cerchi nel forum.
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Scusami, ma non capisco dove stia facendo confusione... forse mi sono espresso male...
Sto considerando il moto rotatorio di una particella (posizionata sulla superficie terrestre) attorno all'asse terrestre rispetto ad un osservatore SOLIDALE con la Terra. La particella non dovrebbe, dunque, essere sottoposta ad una forza centripeta e ad una centrifuga (apparente) che si equilibrano a vicenda in modo tale che possa valere la seconda legge di Newton (la particella non si muove rispetto all'osservatore solidale con la Terra)? Qual è, quindi, questa forza centripeta? Ti sarei grato se riuscissi a rispondermi in maniera un po' più diretta, anche perchè ricerche ne ho già fatte parecchie, ma non riesco proprio a venirne a capo. Grazie mille per la disponibilità.
Sto considerando il moto rotatorio di una particella (posizionata sulla superficie terrestre) attorno all'asse terrestre rispetto ad un osservatore SOLIDALE con la Terra. La particella non dovrebbe, dunque, essere sottoposta ad una forza centripeta e ad una centrifuga (apparente) che si equilibrano a vicenda in modo tale che possa valere la seconda legge di Newton (la particella non si muove rispetto all'osservatore solidale con la Terra)? Qual è, quindi, questa forza centripeta? Ti sarei grato se riuscissi a rispondermi in maniera un po' più diretta, anche perchè ricerche ne ho già fatte parecchie, ma non riesco proprio a venirne a capo. Grazie mille per la disponibilità.
Credo che Faussonne intendesse dire che è scorretto parlare forza centrifuga, che è un tipo di forza che non "esiste " in realtà. O per meglio dire, non esistono in sistemi di riferimento inerziali.
Infatti nascono in sistemi di riferimenti non inerziali, il fatto che queste forze non siano proprio delle vere forze è dovuto al fatto che non nascono tra iterazioni di corpi.
Infatti nascono in sistemi di riferimenti non inerziali, il fatto che queste forze non siano proprio delle vere forze è dovuto al fatto che non nascono tra iterazioni di corpi.
Non si possono usare i termini forza centrifuga e centripeta riferendosi ad uno stesso sistema di riferimento: la forza centripeta è propria di un riferimento inerziale ed è la forza responsabile della deviazione di un un punto materiale da una traiettoria rettilinea in quel sistema di riferimento.
La forza centrifuga è propria di un riferimento non inerziale ed è la forza che un osservatore solidale con quel sistema di riferimento inerziale deve aggiungere ad altre forza presenti per poter applicare l'equazione di Newton $ma = sum F_j$.
Nell'esempio che fai adottando il punto di vista non inerziale, considerando cioè un sistema di riferimento solidale con la Terra, non c'è molto da dire: la forza centrifuga si somma (vettorialmente) alla forza di gravità. Non c'è nessuna forza centripeta in quel riferimento, visto che il corpo è visto come fermo, quindi non c'è nessuna traiettoria curva da cui dedurre la presenza di una forza centripeta..
Per parlare di forza centripeta (e non di centrifuga) dobbiamo guardare cosa succede da un sistema di riferimento solidale con le stelle fisse che vede la Terra ruotare. In quel riferimento un eventuale punto materiale fermo sulla Terra sarà in moto circolare uniforme, sul punto, per un osservatore in tale riferimento, dovrà agire una forza centripeta data dalla risultante della gravità più la reazione del terreno quindi per il suddetto osservatore varrebbe:
$m vec a_c = m vec{g} + vec {R}$
da cui
$vec R = m vec a_c - m vec{g}$
si osserva che la reazione del terreno non è opposta al peso ma leggermente inferiore, per la presenza del termine $m vec a_c$ che è massimo quando $vec a_c$ è massimo (all'equatore) e minimo quando tale termine è nullo (ai poli).
Questa reazione è la stessa che calcolerebbe l'osservatore solidale con la Terra.
La forza centrifuga è propria di un riferimento non inerziale ed è la forza che un osservatore solidale con quel sistema di riferimento inerziale deve aggiungere ad altre forza presenti per poter applicare l'equazione di Newton $ma = sum F_j$.
Nell'esempio che fai adottando il punto di vista non inerziale, considerando cioè un sistema di riferimento solidale con la Terra, non c'è molto da dire: la forza centrifuga si somma (vettorialmente) alla forza di gravità. Non c'è nessuna forza centripeta in quel riferimento, visto che il corpo è visto come fermo, quindi non c'è nessuna traiettoria curva da cui dedurre la presenza di una forza centripeta..
Per parlare di forza centripeta (e non di centrifuga) dobbiamo guardare cosa succede da un sistema di riferimento solidale con le stelle fisse che vede la Terra ruotare. In quel riferimento un eventuale punto materiale fermo sulla Terra sarà in moto circolare uniforme, sul punto, per un osservatore in tale riferimento, dovrà agire una forza centripeta data dalla risultante della gravità più la reazione del terreno quindi per il suddetto osservatore varrebbe:
$m vec a_c = m vec{g} + vec {R}$
da cui
$vec R = m vec a_c - m vec{g}$
si osserva che la reazione del terreno non è opposta al peso ma leggermente inferiore, per la presenza del termine $m vec a_c$ che è massimo quando $vec a_c$ è massimo (all'equatore) e minimo quando tale termine è nullo (ai poli).
Questa reazione è la stessa che calcolerebbe l'osservatore solidale con la Terra.
Grazie mille della risposta, veramente precisa ed esauriente... quindi, in pratica, riepilogando, una stessa forza (nel nostro caso la forza di gravità assieme alla reazione normale del terreno) può essere centripeta rispetto ad un osservatore inerziale e non esserlo più rispetto a quello non inerziale solidale col sistema rotante. In quest'ultimo sistema, tornando al caso della Terra, la forza centrifuga consente di dire che la forza di gravità "netta" (data, cioè, dalla combinazione della gravità vera e propria e della forza centrifuga stessa) sia uguale e opposta alla reazione normale del terreno, in modo tale che risulti giustificato il fatto che un corpo in quiete su un punto qualsiasi della superficie terrestre rimanga in quiete fintanto che non agisca su di esso nessun altra forza. Giusto?
C'è un'ultima cosa che vorrei chiederti: l'accelerazione centripeta rispetto all'osservatore inerziale e quella centrifuga rispetto al sistema rotante sono sempre uguali in modulo (e precisamente pari alla velocità angolare al quadrato, rispetto ad un osservatore inerziale, per il raggio della traiettoria circolare)? Come si potrebbe dimostrare questo fatto?
Ti ringrazio ancora della disponibilità. Mi sei stato veramente utile!
C'è un'ultima cosa che vorrei chiederti: l'accelerazione centripeta rispetto all'osservatore inerziale e quella centrifuga rispetto al sistema rotante sono sempre uguali in modulo (e precisamente pari alla velocità angolare al quadrato, rispetto ad un osservatore inerziale, per il raggio della traiettoria circolare)? Come si potrebbe dimostrare questo fatto?
Ti ringrazio ancora della disponibilità. Mi sei stato veramente utile!
"Nash86":
[..] Giusto?
Abbastanza: la forza centrifuga (con le altre forze fittizie) permette anche in un sistema relativo non inerziale di applicare l'equazione di Newton (vedi link di seguito).
"Nash86":
C'è un'ultima cosa che vorrei chiederti: l'accelerazione centripeta rispetto all'osservatore inerziale e quella centrifuga rispetto al sistema rotante sono sempre uguali in modulo (e precisamente pari alla velocità angolare al quadrato, rispetto ad un osservatore inerziale, per il raggio della traiettoria circolare)? Come si potrebbe dimostrare questo fatto?
Non esiste accelerazione centrifuga, ma solo forza centrifuga. Ovvio poi che la forza centrifuga ha un'espressione legata a quella dell'accelerazione centripeta (ma comunque si parla di sistemi di riferimento diversi).
Dai uno sguardo anche qui.
Non c'è nulla altro da dimostrare.
Sì, ho capito che si tratta di sistemi diversi... però, in quanto forza, la forza centrifuga (nel sistema di riferimento rotante) non genera, di per sè, un'accelerazione, che si combina, poi, vettorialmente con l'accelerazione di gravità, dando, così, luogo ad un vettore accelerazione di gravità g "effettivo" (e misurabile) diretto lungo la verticale locale? Cioè, d'altra parte, se introduco la forza apparente per "salvare" la legge di Newton, vuol dire che, ad essa, un vettore accelerazione lo posso associare... forse mi ero espresso male io... è chiaro, poi, che non vi sia nessuna accelerazione centrifuga netta, perchè, al netto, tra forza di gravità, forza centrifuga e reazione normale del terreno, l'accelerazione è nulla, ragion per cui un corpo collocato su un punto della superficie terrestre resta in quiete. Il mio dubbio nasce, in realtà, dalla figura presente nella seguente pagina di Wikipedia:
http://it.wikipedia.org/wiki/File:Accel ... -Earth.png
dove, alla forza centrifuga, viene esplicitamente associato un vettore accelerazione di modulo pari alla velocità angolare della Terra elevata al quadrato moltiplicata per la distanza dall'asse di rotazione. Volevo capire il perchè di questo valore, che, caso strano, è uguale a quello dell'accelerazione centripeta rispetto ad un osservatore inerziale. In particolare, mi sono chiesto se fosse una regola del tutto generale il fatto che, in modulo, l'accelerazione centrifuga rispetto ad un osservatore solidale con un sistema rotante fosse sempre uguale all'accelerazione centripeta rispetto ad un ALTRO osservatore, che è, invece, inerziale. In parole povere, l'accelerazione centrifuga è sempre pari alla distanza per la velocità angolare al quadrato? Se sì, perchè? Non so se ora il mio dubbio sia un po' più chiaro.
Grazie ancora.
http://it.wikipedia.org/wiki/File:Accel ... -Earth.png
dove, alla forza centrifuga, viene esplicitamente associato un vettore accelerazione di modulo pari alla velocità angolare della Terra elevata al quadrato moltiplicata per la distanza dall'asse di rotazione. Volevo capire il perchè di questo valore, che, caso strano, è uguale a quello dell'accelerazione centripeta rispetto ad un osservatore inerziale. In particolare, mi sono chiesto se fosse una regola del tutto generale il fatto che, in modulo, l'accelerazione centrifuga rispetto ad un osservatore solidale con un sistema rotante fosse sempre uguale all'accelerazione centripeta rispetto ad un ALTRO osservatore, che è, invece, inerziale. In parole povere, l'accelerazione centrifuga è sempre pari alla distanza per la velocità angolare al quadrato? Se sì, perchè? Non so se ora il mio dubbio sia un po' più chiaro.
Grazie ancora.
"Nash86":
In particolare, mi sono chiesto se fosse una regola del tutto generale il fatto che, in modulo, l'accelerazione centrifuga rispetto ad un osservatore solidale con un sistema rotante fosse sempre uguale all'accelerazione centripeta rispetto ad un ALTRO osservatore, che è, invece, inerziale. In parole povere, l'accelerazione centrifuga è sempre pari alla distanza per la velocità angolare al quadrato? Se sì, perchè? Non so se ora il mio dubbio sia un po' più chiaro.
Non vorrei che parte della confusione sia di tipo definitorio. Non esiste (a mia conoscenza) alcuna definizione di accelerazione centrifuga.
In un sistema rotante con velocità angolare costante $\omega$ l'accelerazione di trascinamento in un punto distante $r$ dall'asse è centripeta e vale in modulo $\omega^2r$, nel sistema rotante il modulo della forza centrifuga agente su un punto materiale di massa $m$ è, per definizione, $m\omega^2r$. Per l'osservatore non inerziale l'effetto della forza centrifuga sul moto o sull'equilibrio del punto materiale è analogo a quello di ogni altra forza di volume (come per esempio il peso).
Ma se io divido la forza centrifuga per la massa, non dovrei ottenere un'accelerazione? Perchè insistete a dire che non si possa definire un'accelerazione centrifuga? Comunque, se non volete parlare di accelerazioni, come mai, allora, la forza centrifuga è uguale, in modulo, a quella centripeta? Cioè, posso capire sia "intuitiva" come cosa, ma, in realtà, secondo me, andrebbe dimostrato, visto che le due forze riguardano sistemi di riferimento differenti (uno inerziale, l'altro no). Attendo comunque delucidazioni...
"Nash86":
Ma se io divido la forza centrifuga per la massa, non dovrei ottenere un'accelerazione?
Ovvio che sì. Il punto è che quell'accelerazione non ha dignità tale da conferirgli un nome, infatti non senti parlare di accelerazione centrifuga, anche perché tale accelerazione non si misura facilmente in un moto, in quanto si somma ad altre accelerazioni dovute ad altre forze agenti oltre la centrifuga (Coriolis per esempio).
Quello che si misura facilmente è invece la forza centrifuga (basta un dinamometro), e quindi la forza centrifuga divisa per la massa, che è solo un'accelerazione dimensionalmente, e che è in pratica ciò che viene mostrato nella figura che hai riportato.
In sostanza la forza centrifuga genera un campo gravitazionale che si somma a $vec g$.
Non ho capito poi cosa vuoi che venga dimostrato, scusami hai letto il post che ti ho linkato nel mio ultimo messaggio in questa discussione? Quello dovrebbe chiarire la genesi delle forze apparenti e rispondere ai tuoi dubbi.
"Nash86":
Ma se io divido la forza centrifuga per la massa, non dovrei ottenere un'accelerazione? Perchè insistete a dire che non si possa definire un'accelerazione centrifuga? Comunque, se non volete parlare di accelerazioni, come mai, allora, la forza centrifuga è uguale, in modulo, a quella centripeta? Cioè, posso capire sia "intuitiva" come cosa, ma, in realtà, secondo me, andrebbe dimostrato, visto che le due forze riguardano sistemi di riferimento differenti (uno inerziale, l'altro no). Attendo comunque delucidazioni...
Non siamo noi (Faussone e io???) che insistiamo a non definire l'accelerazione centrifuga, diciamo che questa cocciutaggine è diffusa su tutti i libri di Fisica. Chi ha mai detto che la forza centrifuga è uguale a quella centripeta? In generele questo è anche falso. Non c'è niente da dimostrare, vi sono infiniti esempi in questo senso. Insisto, i tuoi problemi sono di definizione. Devi esaminare attentamente cosa significano i vari termini dal punto di vista fisico.
Per Faussone:
Quindi dici che l'accelerazione centrifuga non esiste nel senso che non è sperimentalmente misurabile, anche se, a livello puramente teorico, è possibile associarle un campo vettoriale. Ok. Ora ci sono.
Sì, ho visto il link, ma dovevo riguardarmelo un po' con calma.... è che, purtroppo, il testo su cui sto studiando, l'Halliday, affronta molto poco il discorso delle forze apparenti (ne fa solo qualche cenno)... neanche parla minimamente di accelerazione di Coriolis, di trascinamento, etc. per questo mi sono sorti molti dubbi e non capivo, quindi, da dove saltasse fuori l'espressione della forza centrifuga come $\momega^2r$. Ma ora, comunque, ho già le idee un po' più chiare.
Grazie mille per tutto l'aiuto. Alla prossima.
Per mircoFN:
Non volevo dare dei cocciuti a nessuno, se così è sembrato me ne scuso. Non riuscivo soltanto a capire in che senso alla forza centrifuga non si potesse associare un'accelerazione come alle altre forze. E ci tenevo a venirne a capo. Tutto qua. Comunque, per chiarirci meglio, mi faresti un esempio in cui il modulo della forza centripeta (rispetto ad un osservatore inerziale) è diverso dal modulo della forza centrifuga (rispetto ad un osservatore non inerziale solidale col sistema rotante)? Non sono comunque sempre uguali entrambi (in modulo, sia chiaro) ad $\momega^2r$? Così, magari, capisco dove sbaglio io nel dire che, in generale, le due forze sono uguali e opposte. Ti ringrazio anticipatamente per la disponibilità.
Quindi dici che l'accelerazione centrifuga non esiste nel senso che non è sperimentalmente misurabile, anche se, a livello puramente teorico, è possibile associarle un campo vettoriale. Ok. Ora ci sono.
Sì, ho visto il link, ma dovevo riguardarmelo un po' con calma.... è che, purtroppo, il testo su cui sto studiando, l'Halliday, affronta molto poco il discorso delle forze apparenti (ne fa solo qualche cenno)... neanche parla minimamente di accelerazione di Coriolis, di trascinamento, etc. per questo mi sono sorti molti dubbi e non capivo, quindi, da dove saltasse fuori l'espressione della forza centrifuga come $\momega^2r$. Ma ora, comunque, ho già le idee un po' più chiare.
Grazie mille per tutto l'aiuto. Alla prossima.
Per mircoFN:
Non volevo dare dei cocciuti a nessuno, se così è sembrato me ne scuso. Non riuscivo soltanto a capire in che senso alla forza centrifuga non si potesse associare un'accelerazione come alle altre forze. E ci tenevo a venirne a capo. Tutto qua. Comunque, per chiarirci meglio, mi faresti un esempio in cui il modulo della forza centripeta (rispetto ad un osservatore inerziale) è diverso dal modulo della forza centrifuga (rispetto ad un osservatore non inerziale solidale col sistema rotante)? Non sono comunque sempre uguali entrambi (in modulo, sia chiaro) ad $\momega^2r$? Così, magari, capisco dove sbaglio io nel dire che, in generale, le due forze sono uguali e opposte. Ti ringrazio anticipatamente per la disponibilità.
"Nash86":
Per Faussone:
Quindi dici che l'accelerazione centrifuga non esiste nel senso che non è sperimentalmente misurabile, anche se, a livello puramente teorico, è possibile associarle un campo vettoriale. Ok. Ora ci sono.
Non ho detto proprio così. Comunque il messaggio credo lo hai colto.
Mettiamola così... ha senso parlare di forze apparenti, ma non di accelerazioni apparenti... giusto? Anche se, tant'è, il motivo continua a non essermi chiarissimo...
"Nash86":
Per mircoFN:
Non volevo dare dei cocciuti a nessuno, se così è sembrato me ne scuso. Non riuscivo soltanto a capire in che senso alla forza centrifuga non si potesse associare un'accelerazione come alle altre forze. E ci tenevo a venirne a capo. Tutto qua.
Infatti scherzavo!
Tu puoi associare una accelerazione a qualunque forza semplicemente dividendo per $m$, però non puoi pretendere che quel qualcosa abbia un senso e soprattutto che abbia una definizione.
"Nash86":
Comunque, per chiarirci meglio, mi faresti un esempio in cui il modulo della forza centripeta (rispetto ad un osservatore inerziale) è diverso dal modulo della forza centrifuga (rispetto ad un osservatore non inerziale solidale col sistema rotante)? Non sono comunque sempre uguali entrambi (in modulo, sia chiaro) ad $\momega^2r$? Così, magari, capisco dove sbaglio io nel dire che, in generale, le due forze sono uguali e opposte. Ti ringrazio anticipatamente per la disponibilità.
Per fare l'esempio è sufficiente considerare un corpo che si muove radialmente (di moto vario) nel sistema inerziale.
La prima cosa che mi viene in mente: considera una normale giostra che gira a velocità angolare costante $\omega$. Una molla elastica con costante $k$ e lunghezza a riposo $l_0$ è fissata all'asse di rotazione e all'altro estremo ha collegato un corpo di massa $m$ che può muoversi senza attrito su un binario rettilineo e radiale. Considera il corpo in una generica posizione radiale $r$ e vedi se ti tornano queste quantità algebriche (è positivo il verso di crescita della coordinata radiale):
1) accelerazione di trascinamento: $-\omega^2r$
2) forza centrifuga: $m\omega^2r$
3) forza centripeta: $-k(r-l_0)$
Come vedi l'uguaglianza dei moduli delle forze si verifica solo quando si ha:
$m\omega^2r=k(r-l_0)$
Nella posizione:
$r_0=(kl_0)/(k-m\omega^2)$
l'accelerazione relativa del corpo (rispetto alla giostra) è nulla, in tutte le altre $r\ne r_0$ le due forze hanno modulo diverso
Ma quindi è sbagliato dire che l'intensità della forza centripeta è sempre $\(mv^2)/r$ ? Invece la forza centrifuga, in modulo, è sempre $\momega^2r$? Credo sia qui l'inghippo... perchè il mio libro me l'ha solo definita così la forza centripeta... Quando posso dire, con certezza, che la forza centripeta sia uguale a $\(mv^2)/r$ (e quindi, in tal caso, è sì uguale a quella centrifuga)? Forse sono domande banali, ma, ripeto, queste cose, che sono senz'altro fondamentali, sull'Halliday sono trattate davvero all'acqua di rosa... Comunque l'esempio mi ha già un po' chiarito le idee...
"Nash86":
Quando posso dire, con certezza, che la forza centripeta sia uguale a $\(mv^2)/r$ (e quindi, in tal caso, è sì uguale a quella centrifuga)?
Pensavo di avere già risposto, comunque la risposta generale è: quando la componente radiale dell'accelerazione relativa è nulla.
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