Accelerazione di gravità artificiale
Ciao, stamane ho affrontato un nuovo tema d'esame, ma su un argomento mai trattato a lezione, così per provare.
Il testo è questo:
una stazione spaziale ha la forma di una grande ruota di raggio r (lo spessore sia pure considerevole non è importante).
Essa viene opportunamente mantenuta in rotazione,attorno al suo asse centrale,con una velocità angolare costante Wo .I passeggeri vivono e si spostano lungo il bordo perimetrale ed il loro pavimento è la parte interna della superficie laterale perimetrale,che si può considerare a distanza r dall'asse centrale della stazione.
a)si determini il valore $\omega_0$ tale che le persone risentano,da fermi, di una gravità artificiale uguale a quella terrestre $g$;
b)si determinino i valori dell'accelerazione di gravità artificiale percepita da una persona a bordo di un veicolo che si muove sul pavimento della superficie perimetrale,lungo una circonferenza, con velocità $V$ nei due sensi;
c)Ricavare l'espressione della forza d'attrito che agisce su di un corpo puntiforme ke si muove sul pavimento (coefficiente d'attrito $u$ ) lungo una circonferenza perimetrale con velocità di modulo $v$.
Dati Numerici:
$r=5Km ; g=9.8 m/s^2 ; V=54Km/h$
1) ho risolto cosi:
$F_(peso) = F_(centr)$
$g = (\omega_0)^2 * r$
da cui mi ricavo $\omega$
non credo che possa fare tante considerazioni teoriche ...
2) Qui incomincio a confondermi, sopratutto sulla notazione 'velocità $V$ nei due sensi'....pensando forse al fatto che l'omino può percorrere quella circonferenza in senso orario e antiorario?
Posto che: $(V^2)/r = a_c$
Allora io credo che si possa fare così:
$A_(art) = (V^2)/r + (\omega_0)*r = (V^2)/r + g$ (orario)
mentre per antiorario:
$A_(art) = (V^2)/r - g$
non capisco se vada o meno considerata l'espressione calcolata nella prima domanda....
3) So che la forza d'attrito è indipendente dal modulo della velocità, ma dipendente nel verso, in quanto è sempre opposto alla $v$
il punto materiale è senza massa idealmente, almeno qui non mi da alcun valore della massa....forse lo si deve svolgere 'teoricamente', dunque
$Fa = u *F_(premente)$
la forza premente altro non è che la forza centrifuga, che fa di tutto per farla sbandare dalla traiettoria perimetrale, quindi:
$Fa = u*m*\omega^2 * r = u * m * (v^2)/r$
che ne pensat? suggerimenti?
Grazie
Il testo è questo:
una stazione spaziale ha la forma di una grande ruota di raggio r (lo spessore sia pure considerevole non è importante).
Essa viene opportunamente mantenuta in rotazione,attorno al suo asse centrale,con una velocità angolare costante Wo .I passeggeri vivono e si spostano lungo il bordo perimetrale ed il loro pavimento è la parte interna della superficie laterale perimetrale,che si può considerare a distanza r dall'asse centrale della stazione.
a)si determini il valore $\omega_0$ tale che le persone risentano,da fermi, di una gravità artificiale uguale a quella terrestre $g$;
b)si determinino i valori dell'accelerazione di gravità artificiale percepita da una persona a bordo di un veicolo che si muove sul pavimento della superficie perimetrale,lungo una circonferenza, con velocità $V$ nei due sensi;
c)Ricavare l'espressione della forza d'attrito che agisce su di un corpo puntiforme ke si muove sul pavimento (coefficiente d'attrito $u$ ) lungo una circonferenza perimetrale con velocità di modulo $v$.
Dati Numerici:
$r=5Km ; g=9.8 m/s^2 ; V=54Km/h$
1) ho risolto cosi:
$F_(peso) = F_(centr)$
$g = (\omega_0)^2 * r$
da cui mi ricavo $\omega$
non credo che possa fare tante considerazioni teoriche ...
2) Qui incomincio a confondermi, sopratutto sulla notazione 'velocità $V$ nei due sensi'....pensando forse al fatto che l'omino può percorrere quella circonferenza in senso orario e antiorario?
Posto che: $(V^2)/r = a_c$
Allora io credo che si possa fare così:
$A_(art) = (V^2)/r + (\omega_0)*r = (V^2)/r + g$ (orario)
mentre per antiorario:
$A_(art) = (V^2)/r - g$
non capisco se vada o meno considerata l'espressione calcolata nella prima domanda....
3) So che la forza d'attrito è indipendente dal modulo della velocità, ma dipendente nel verso, in quanto è sempre opposto alla $v$
il punto materiale è senza massa idealmente, almeno qui non mi da alcun valore della massa....forse lo si deve svolgere 'teoricamente', dunque
$Fa = u *F_(premente)$
la forza premente altro non è che la forza centrifuga, che fa di tutto per farla sbandare dalla traiettoria perimetrale, quindi:
$Fa = u*m*\omega^2 * r = u * m * (v^2)/r$
che ne pensat? suggerimenti?
Grazie
Risposte
Allora io credo che si possa fare così:
$A_(art) = (V^2)/r + (\omega_0)*r = (V^2)/r + g$ (orario)
mentre per antiorario:
$A_(art) = (V^2)/r - g$
Sicuro sicuro ?
No, non riesco a cavarmela stavolta ://
Bisogna considerare solo la componente centripeta $(V^2)/r$, inoltre stiamo considerando una persona dentro una macchina che procede a velocità costante su un percorso a forma circolare è un sistema inerziale ( per un osservatore all' interno dell' auto ), ma la stazione spaziale non ruota essa stessa di $\omega_0$ trovato nella prima risposta? Non va considerata?
Bisogna considerare solo la componente centripeta $(V^2)/r$, inoltre stiamo considerando una persona dentro una macchina che procede a velocità costante su un percorso a forma circolare è un sistema inerziale ( per un osservatore all' interno dell' auto ), ma la stazione spaziale non ruota essa stessa di $\omega_0$ trovato nella prima risposta? Non va considerata?
Ci sei quasi. I concetti chiave li hai capiti.
Fai finta di avere due ruote simili una di fianco all'altra.
Qual è la differenza nella loro velocità periferica ?
Questa differenza non è paragonabile a [tex]V[/tex] ?
Mettiamola così: due ruote coassiali di raggio [tex]r[/tex] girano una accanto alla'altra. La velocità di una è [tex]w_0[/tex] e la differenza delle velocità periferiche è [tex]V[/tex]. Che gravità artificiale c'è sulla seconda ruota ?
Tra una formula e l'altra guardati questo (a cui forse si sono ispirati)
http://www.youtube.com/watch?v=o8x8Y11qDns&t=3m14s
A + tardi.
Fai finta di avere due ruote simili una di fianco all'altra.
Qual è la differenza nella loro velocità periferica ?
Questa differenza non è paragonabile a [tex]V[/tex] ?
Mettiamola così: due ruote coassiali di raggio [tex]r[/tex] girano una accanto alla'altra. La velocità di una è [tex]w_0[/tex] e la differenza delle velocità periferiche è [tex]V[/tex]. Che gravità artificiale c'è sulla seconda ruota ?
Tra una formula e l'altra guardati questo (a cui forse si sono ispirati)
http://www.youtube.com/watch?v=o8x8Y11qDns&t=3m14s
A + tardi.
è giusto?
se prendo un sistema fisso solidale con le stelle fisse (O,x1,x2,x3) e uno solidale con la circonferenza (C,y1,y2,y3) la posizione del punto può essere scritta come
$(P-O) = (C-O) + (P-C)$ cioè la posizione dellastronave piu la posizione relativa di P.
in questo caso derivando
$V_P^a = V_C + V_P^r + omega xx (P-C)$ ammesso che l'astronave ruoti V_C=0 e si ha $V_P^a = V_P^r + omega xx (P-C)$ dove $V_P^a$ è la velocità assoluta, V_P^r quella relativa e $omega$ è la velocità angolare dell'astronave rispetto al sistema fisso.
derivo
$a_P^a = a_P^r + 2 omega xx V_P^r + omega xx (omega xx (P-C))$
$a_P^a = 0$ e contando che poichè il punto si muove sulla circonferenza la velocità relativa di P è scrivibile come $V_P^r = dot(phi) xx (P-C)$ con $dot phi$ = velocità angolare relativa di P rispetto l'astronave.
quindi $a_P^r = - omega xx ( 2 dot(phi) xx (P-C) + omega xx (P-C) ) = - omega xx ( (2 dot(phi) + omega) xx (P-C) ) = omega (2 dot(phi) + omega) (P-C)$
quindi se $vec omega = omega * vec k$
allora se $vec(dot(phi))$ è diretto come $vec k$ allora $dot(phi) = V/r$ altrimenti $dot(phi)= - V/r$
se prendo un sistema fisso solidale con le stelle fisse (O,x1,x2,x3) e uno solidale con la circonferenza (C,y1,y2,y3) la posizione del punto può essere scritta come
$(P-O) = (C-O) + (P-C)$ cioè la posizione dellastronave piu la posizione relativa di P.
in questo caso derivando
$V_P^a = V_C + V_P^r + omega xx (P-C)$ ammesso che l'astronave ruoti V_C=0 e si ha $V_P^a = V_P^r + omega xx (P-C)$ dove $V_P^a$ è la velocità assoluta, V_P^r quella relativa e $omega$ è la velocità angolare dell'astronave rispetto al sistema fisso.
derivo
$a_P^a = a_P^r + 2 omega xx V_P^r + omega xx (omega xx (P-C))$
$a_P^a = 0$ e contando che poichè il punto si muove sulla circonferenza la velocità relativa di P è scrivibile come $V_P^r = dot(phi) xx (P-C)$ con $dot phi$ = velocità angolare relativa di P rispetto l'astronave.
quindi $a_P^r = - omega xx ( 2 dot(phi) xx (P-C) + omega xx (P-C) ) = - omega xx ( (2 dot(phi) + omega) xx (P-C) ) = omega (2 dot(phi) + omega) (P-C)$
quindi se $vec omega = omega * vec k$
allora se $vec(dot(phi))$ è diretto come $vec k$ allora $dot(phi) = V/r$ altrimenti $dot(phi)= - V/r$
"Quinzio":
Ci sei quasi. I concetti chiave li hai capiti.
Fai finta di avere due ruote simili una di fianco all'altra.
Qual è la differenza nella loro velocità periferica ?
Questa differenza non è paragonabile a [tex]V[/tex] ?
Mettiamola così: due ruote coassiali di raggio [tex]r[/tex] girano una accanto alla'altra. La velocità di una è [tex]w_0[/tex] e la differenza delle velocità periferiche è [tex]V[/tex]. Che gravità artificiale c'è sulla seconda ruota ?
Tra una formula e l'altra guardati questo (a cui forse si sono ispirati)
http://www.youtube.com/watch?v=o8x8Y11qDns&t=3m14s
Ho visto il video, mi vergogno a dirlo, ma non l'ho mai visto questo film di Kubrick :// ma so che è fantascienza fatta molto bene. E il video che mi hai linkato è quello di due ellisse come nell'esempio che mi hai citato tu, quello delle due ruote coassiali.
io l'ho pensata cosi:
i dati che mi hai dato sono il raggio $r$, $\omega_0$ (che suppongo positiva, quindi verso antiorario) e la differenza periferica delle due velocità:
anche la secondo ruota la suppongo che si giri in verso antiorario di velocità angolare $\omega_1$
$V_0= \omega_0 * r$
$V_1= \omega_1 * r$
$V=V_1 - V_2 = (\omega_1 -\omega_0)*r$
$V/r = \omega_1 - \omega_0$
da cui:
$\omega_1 = V/r + \omega_0$
$a' = (\omega_1)^2 * r = (V/r + \omega_0)^2 * r = (\omega_0)^2 r + (V^2)/r + 2 V *\omega_0$
e mi sa che è uguale proprio a $g+ a_c + a_(centrifuga)
In un sistema di riferimento inerziale:
$ma_A=\Phi rarr mv_A^2/r=\Phi$
Dal teorema di composizione delle velocità:
$v_A=v_R+v_T rarr v_A=+-V+\omega_0r
Sostituendo:
$mv_A^2/r=\Phi rarr m((+-V+\omega_0r)^2)/r=\Phi rarr \Phi/m=V^2/r+\omega_0^2r+-2\omega_0V$
Nel sistema di riferimento non inerziale:
$ma_R=\Phi-ma_T-ma_C$
Essendo:
$\{(a_R=V^2/r),(a_T=\omega_0^2r),(a_C=+-2\omega_0V):}$
e sostituendo:
$ma_R=\Phi-ma_T-ma_C rarr mV^2/r=\Phi-m\omega_0^2r-+2m\omega_0V rarr \Phi/m=V^2/r+\omega_0^2r+-2\omega_0V$
$ma_A=\Phi rarr mv_A^2/r=\Phi$
Dal teorema di composizione delle velocità:
$v_A=v_R+v_T rarr v_A=+-V+\omega_0r
Sostituendo:
$mv_A^2/r=\Phi rarr m((+-V+\omega_0r)^2)/r=\Phi rarr \Phi/m=V^2/r+\omega_0^2r+-2\omega_0V$
Nel sistema di riferimento non inerziale:
$ma_R=\Phi-ma_T-ma_C$
Essendo:
$\{(a_R=V^2/r),(a_T=\omega_0^2r),(a_C=+-2\omega_0V):}$
e sostituendo:
$ma_R=\Phi-ma_T-ma_C rarr mV^2/r=\Phi-m\omega_0^2r-+2m\omega_0V rarr \Phi/m=V^2/r+\omega_0^2r+-2\omega_0V$
Si, adesso è ok.
La sostanza è che essendoci di mezzo un quadrato, non puoi fare la somma dei quadrati delle velocità angolari, ma devi fare il quadrato della somma.
La sostanza è che essendoci di mezzo un quadrato, non puoi fare la somma dei quadrati delle velocità angolari, ma devi fare il quadrato della somma.
Quindi in sostanza speculor ti trovi come me, solo che appunto hai considerato il doppio sengno, a seconda che $\omega_0$ sia orario o antiorario.
Però mi è piaciuto molto l'esempio equivalente delle due ruote coassiali, ci si arriva davvero subito alla risoluzione.
Perchè la chiama di nuovo accelerazione di gravità artificiale? Ho fatto varie ricerche su questo termine, e quello che ho capito che non è effettivamente realizzabile, ne sapete di più? E' attualmente oggetto di studio, affascinante *__*
Però mi è piaciuto molto l'esempio equivalente delle due ruote coassiali, ci si arriva davvero subito alla risoluzione.
Perchè la chiama di nuovo accelerazione di gravità artificiale? Ho fatto varie ricerche su questo termine, e quello che ho capito che non è effettivamente realizzabile, ne sapete di più? E' attualmente oggetto di studio, affascinante *__*
Infatti, ho voluto solo arrivare al tuo risultato ragionando nei diversi sistemi di riferimento.
Una risoluzione davvero elegante speculor! 
Grazie 
Grazie
Ti ringrazio. Tra l'altro, il procedimento più diretto che hai menzionato, è strettamente collegato al primo procedimento.
Si, come mi aveva guidato quinzio.
L'analogia delle ruote mi è servito moltissimo per capire come muovermi.
L'analogia delle ruote mi è servito moltissimo per capire come muovermi.
"clever":
E il video che mi hai linkato è quello di due ellisse come nell'esempio che mi hai citato tu, quello delle due ruote coassiali.
Per curiosità ho visto il filmato: io vedo due circonferenze, credo che la "ellissi" si riferisce alla figura retorica, in particolare al salto temporale dalle scimmie allo spazio (occorre vedere il filmato dall'inizio)
"cenzo":
[quote="clever"]E il video che mi hai linkato è quello di due ellisse come nell'esempio che mi hai citato tu, quello delle due ruote coassiali.
Per curiosità ho visto il filmato: io vedo due circonferenze, credo che la "ellissi" si riferisce alla figura retorica, in particolare al salto temporale dalle scimmie allo spazio (occorre vedere il filmato dall'inizio)
[/quote]Beh, forse è perchè quando guardi un cerchio quasi sempre quello che vedi veramente è una ellisse.
OT
LOL.. certo, una figura circolare in prospettiva sembrerà un'ellisse.. anche se sai che non lo è..
Intendevo che nel titolo del video il termine "ellisse" non si riferisce alla geometria, vedi anche questo link di wiki, che cita proprio Kubrick.
/OT
LOL.. certo, una figura circolare in prospettiva sembrerà un'ellisse.. anche se sai che non lo è..
Intendevo che nel titolo del video il termine "ellisse" non si riferisce alla geometria, vedi anche questo link di wiki, che cita proprio Kubrick.
/OT
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