Accelerazione come derivata della velocità
Ciao a tutti. Ho controllato sul forum e ho trovato una domanda simile alla mia ma che non mi ha aiutato a risolvere il mio problema concettuale. Ho affrontato poco tempo fa la lezione sull'accelerazione istantanea: definita come la derivata della velocità sulla derivata del tempo (significa che devo fare la derivata della velocità "rispetto" il tempo?).
Ecco il problema: non riesco a capire!
Per esempio: un esercizio mi dice che la legge del moto è , $ v(t)=c_1t^2+c_2 $ e io devo calcolare l'accelerazione al tempo t che mi dice il testo. Quindi io dovrei fare semplicemente la derivata di questa equazione per trovare l'accelerazione? Cosa significa "la derivata della velocità RISPETTO il tempo"? Il professore non si sofferma molto su queste cose, forse perché siamo a Biotecnologie ma io voglio capire sia l'analisi matematica che la fisica!
Se quanto detto prima è giusto: $ d(v/t)=(d(c_1t^2+c_2))/dt $
Quindi risolvo semplicemente la derivata a numeratore dove le derivate di c sono zero?
Grazie per la pazienza e l'attenzione. Vi auguro una buona giornata.
Ecco il problema: non riesco a capire!
Per esempio: un esercizio mi dice che la legge del moto è , $ v(t)=c_1t^2+c_2 $ e io devo calcolare l'accelerazione al tempo t che mi dice il testo. Quindi io dovrei fare semplicemente la derivata di questa equazione per trovare l'accelerazione? Cosa significa "la derivata della velocità RISPETTO il tempo"? Il professore non si sofferma molto su queste cose, forse perché siamo a Biotecnologie ma io voglio capire sia l'analisi matematica che la fisica!
Se quanto detto prima è giusto: $ d(v/t)=(d(c_1t^2+c_2))/dt $
Quindi risolvo semplicemente la derivata a numeratore dove le derivate di c sono zero?
Grazie per la pazienza e l'attenzione. Vi auguro una buona giornata.
Risposte
Prima lascia perdere la "matematica", innanzitutto comincia a capire che l'accelerazione rappresenta come varia la velocità nel tempo, come a sua volta la velocità rappresenta come varia la posizione nel tempo.
Adesso osserviamo che da un punto di vista matematico quello che ho scritto sopra viene espresso dalla cosidetta derivata. Quindi per il tuo eserciazio avrai
\[a(t)=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}(c_{1}t^{2}+c_{2})=2c_{1}t\]
Adesso osserviamo che da un punto di vista matematico quello che ho scritto sopra viene espresso dalla cosidetta derivata. Quindi per il tuo eserciazio avrai
\[a(t)=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}(c_{1}t^{2}+c_{2})=2c_{1}t\]
Per ottenere l'accelerazione occore derivare la velocita' rispetto al tempo (Che in questo caso e' la sola variabile in gioco).
Per cui, una volta che hai la funzione che rappresenta la velocita' (In funzione del tempo) derivi ed ottieni la funzione che ti da l'accelerazione (Anch'essa in funzione del tempo ed eventualmente costante).
Per cui, una volta che hai la funzione che rappresenta la velocita' (In funzione del tempo) derivi ed ottieni la funzione che ti da l'accelerazione (Anch'essa in funzione del tempo ed eventualmente costante).
Capito, vi ringrazio.
E se avessi avuto, invece, la derivata della velocità rispetto qualcos'altro? Sarebbe possibile? In quel caso come avrei fatto la derivata?
E se avessi avuto, invece, la derivata della velocità rispetto qualcos'altro? Sarebbe possibile? In quel caso come avrei fatto la derivata?
A volte ad esempio ti capiterà di conoscere la velocità in funzione della posizione (vedi ad esempio in meccanica dei fluidi). Cioè tu conosci la velocità non in dati istanti di tempo, ma la conosci in determinati punti dello spazio, ma a sua volta la posizione sara funzione del tempo, quindi dovrai utilizzare il concetto di derivata composta
\[a=\frac{d}{dt}v(x(t))=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}\]
\[a=\frac{d}{dt}v(x(t))=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}\]
Mi sa che allora devi chiarirti prima le idee.
Una derivata puoi farla sempre e solo rispetto ad una o piu' variabili.
Qua la sola variabile in questione e' il tempo per cui puoi derivare solo rispetto al tempo.
Se le variabili in gioco fossero state piu' di una... allora avresti dovuto considerare le derivate parziali, in cui derivi rispetto ad una delle (2) variabili considerando l'altra come una costante.
Ti consiglio comunque di chiarirti le idee leggendo un "qualsiasi" testo base di Fisica e/o analisi matematica.
Una derivata puoi farla sempre e solo rispetto ad una o piu' variabili.
Qua la sola variabile in questione e' il tempo per cui puoi derivare solo rispetto al tempo.
Se le variabili in gioco fossero state piu' di una... allora avresti dovuto considerare le derivate parziali, in cui derivi rispetto ad una delle (2) variabili considerando l'altra come una costante.
Ti consiglio comunque di chiarirti le idee leggendo un "qualsiasi" testo base di Fisica e/o analisi matematica.
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