Accelerazione centripeta e di Coriolis
Salve!
Vorrei capire bene tutti i versi e le direzioni delle varie accelerazioni e velocità di un corpo in una traiettoria circolare.
Quindi immaginiamo un punto $P$ posto all'interno di un disco che ruota in senso antiorario, quindi il punto $P$ ruoterà in senso orario.
Il punto $P$ ha una velocità angolare con direzione perpendicolare al disco e verso uscente.Il punto $P$ ha una velocità complanare al disco e perpendicolare a $omega$ e $r$ $vecv= vec omega xx vecr$ con $vecr$ la distanza dal centro del disco al punto $P$. Poi abbiamo un accelerazione centripeta $veca_c= vecomega^2 xx vecr $ complanare al disco e rivolta verso il centro del disco a cui si contrappone l'accelerazione di Coriolis $veca_(cor) = 2vecomega xx vecv' $ con $vecv'$ velocità del punto P rispetto al sistema di riferimento mobile.
E' esatto? Ne manca qualcuna? Soprattutto mi interessano le direzioni e i versi delle accelerazioni e della velocità.
Vorrei capire bene tutti i versi e le direzioni delle varie accelerazioni e velocità di un corpo in una traiettoria circolare.
Quindi immaginiamo un punto $P$ posto all'interno di un disco che ruota in senso antiorario, quindi il punto $P$ ruoterà in senso orario.
Il punto $P$ ha una velocità angolare con direzione perpendicolare al disco e verso uscente.Il punto $P$ ha una velocità complanare al disco e perpendicolare a $omega$ e $r$ $vecv= vec omega xx vecr$ con $vecr$ la distanza dal centro del disco al punto $P$. Poi abbiamo un accelerazione centripeta $veca_c= vecomega^2 xx vecr $ complanare al disco e rivolta verso il centro del disco a cui si contrappone l'accelerazione di Coriolis $veca_(cor) = 2vecomega xx vecv' $ con $vecv'$ velocità del punto P rispetto al sistema di riferimento mobile.
E' esatto? Ne manca qualcuna? Soprattutto mi interessano le direzioni e i versi delle accelerazioni e della velocità.
Risposte
Nel caso più generale per calcolare le accelerazioni che agiscono su un punto puoi fare il calcolo esplicito e poi considerare i vari contributi.
La posizione assoluta del punto $P$ la indichiamo con
$\vec (R)= \vec(r) + \vec (R_0)$
dove $vec(r)$ è la posizione nel sistema di riferimento relativo rotante e $vec(R_0)$ la posizione dell'origine del sistema di riferimento rotante rispetto al fisso.
Derivando rispetto al tempo otteniamo la velocità:
$vec(v)=vec(v_r)+vec(omega) \times vec(r) + vec(v_0)$
(osserva che applichiamo la derivazione di Poisson ogni volta che dobbiamo derivare un vettore nel sistema di riferimento rotante in cui occorre tener conto che i versori ruotano).
Derivando ancora si ottiene:
$vec(a)=vec(a_r)+vec(omega) \times vec(v_r)+vec(\alpha) \times vec(r)+ vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r))+ vec(omega) \times vec(v_r) + vec(a_o)$
$=vec(a_r)+vec(\alpha) \times vec(r)+vec(a_o) + vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) +2 vec(omega) \times vec(v_r)$
dove il primo addendo è la classica accelerazione relativa nel sistema rotante, il secondo e il terzo sono il contributo dell'accelerazione di trascinamento del sistema mobile (uno dovuto all'accelerazione angolare l'altro a quella dell'origine del sistema mobile), il terzo è l'accelerazione centripeta e il quarto l'accelerazione di Coriolis.
Nell'esempio che citi tu il primo addendo è l'accelerazione relativa nel sistema di riferimento mobile (rotante) del punto $P$ (che non so se hai supposto si muove o meno nel sistema rotante); il secondo addendo non c'è visto che credo supponi velocità angolare costante; il terzo neanche perché l'origine del sistema mobile è fermo; il quarto è l'accelerazione centripeta diretta, se fai bene i conti con i versi dei vettori, verso l'origine del sistema rotante (verso il centro da qui il nome di accelerazione centripeta); l'ultimo addendo è nel piano del disegno, se il punto $P$ si muove nel sistema mobile rotante nel piano del disegno, la direzione dipende ovviamente da come si muove il punto $P$.
La posizione assoluta del punto $P$ la indichiamo con
$\vec (R)= \vec(r) + \vec (R_0)$
dove $vec(r)$ è la posizione nel sistema di riferimento relativo rotante e $vec(R_0)$ la posizione dell'origine del sistema di riferimento rotante rispetto al fisso.
Derivando rispetto al tempo otteniamo la velocità:
$vec(v)=vec(v_r)+vec(omega) \times vec(r) + vec(v_0)$
(osserva che applichiamo la derivazione di Poisson ogni volta che dobbiamo derivare un vettore nel sistema di riferimento rotante in cui occorre tener conto che i versori ruotano).
Derivando ancora si ottiene:
$vec(a)=vec(a_r)+vec(omega) \times vec(v_r)+vec(\alpha) \times vec(r)+ vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r))+ vec(omega) \times vec(v_r) + vec(a_o)$
$=vec(a_r)+vec(\alpha) \times vec(r)+vec(a_o) + vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) +2 vec(omega) \times vec(v_r)$
dove il primo addendo è la classica accelerazione relativa nel sistema rotante, il secondo e il terzo sono il contributo dell'accelerazione di trascinamento del sistema mobile (uno dovuto all'accelerazione angolare l'altro a quella dell'origine del sistema mobile), il terzo è l'accelerazione centripeta e il quarto l'accelerazione di Coriolis.
Nell'esempio che citi tu il primo addendo è l'accelerazione relativa nel sistema di riferimento mobile (rotante) del punto $P$ (che non so se hai supposto si muove o meno nel sistema rotante); il secondo addendo non c'è visto che credo supponi velocità angolare costante; il terzo neanche perché l'origine del sistema mobile è fermo; il quarto è l'accelerazione centripeta diretta, se fai bene i conti con i versi dei vettori, verso l'origine del sistema rotante (verso il centro da qui il nome di accelerazione centripeta); l'ultimo addendo è nel piano del disegno, se il punto $P$ si muove nel sistema mobile rotante nel piano del disegno, la direzione dipende ovviamente da come si muove il punto $P$.
Forse intendi che il punto $P$ è fermo nel sistema assoluto per cui nel sistema relativo si muove in verso orario?
In tal caso se fai i conti, scopri, ovviamente, che l'accelerazione assoluta è zero sommando i vari contributi...
In pratica il primo e gli ultimi due sommati si elidono.
In tal caso se fai i conti, scopri, ovviamente, che l'accelerazione assoluta è zero sommando i vari contributi...
In pratica il primo e gli ultimi due sommati si elidono.
"Faussone":
Forse intendi che il punto $P$ è fermo nel sistema assoluto per cui nel sistema relativo si muove in verso orario?
In tal caso se fai i conti, scopri, ovviamente, che l'accelerazione assoluta è zero sommando i vari contributi...
In pratica il primo e gli ultimi due sommati si elidono.
Si intendevo il punto $P$ fermo rispetto al sistema rotante.
Le direzioni e i versi come li ho impostati io vanno bene quindi nel caso di $omega$ costante? E nel caso di $omega$ non costante?
Nel caso che il punto $P$ non sia fermo devo usare le formule del moto relativo (cioè quelle che hai scritto tu), giusto?Ma le direzioni e i versi cambiano?
Ti ringrazio molto per l'aiuto che mi stai dando.
Se il punto è fermo rispetto al sistema rotante (diverso da come avevo capito io che pensavo fermo rispetto al fisso) allora di quei termini che ho scritto rimane solo il contributo dell'accelerazione centripeta, tutti gli altri sono zero.
Per il caso più generale (velocità angolare non costante, punto in moto rispetto al sistema rotante, o persino moto del disco non di rotazione pura ma di rotazione più traslazione) vale la formula che ti ho scritto.
Prova a fare un esempio concreto e a descrivere i vari contributi e vedi se ti è tutto chiaro.
Per il caso più generale (velocità angolare non costante, punto in moto rispetto al sistema rotante, o persino moto del disco non di rotazione pura ma di rotazione più traslazione) vale la formula che ti ho scritto.
Prova a fare un esempio concreto e a descrivere i vari contributi e vedi se ti è tutto chiaro.
"Faussone":
Se il punto è fermo rispetto al sistema rotante (diverso da come avevo capito io che pensavo fermo rispetto al fisso) allora di quei termini che ho scritto rimane solo il contributo dell'accelerazione centripeta, tutti gli altri sono zero.
Per il caso più generale (velocità angolare non costante, punto in moto rispetto al sistema rotante, o persino moto del disco non di rotazione pura ma di rotazione più traslazione) vale la formula che ti ho scritto.
Prova a fare un esempio concreto e a descrivere i vari contributi e vedi se ti è tutto chiaro.
Ok vedo di applicarmi.Grazie
Un 'ultima cosa.. Io ho problemi a determinare il sistema fisso e quello mobile. In questi casi quale mi conviene scegliere come sistema fisso e quale quello mobile?
Dovresti fare un esempio un po' più complesso per darti una risposta.
Nell'esempio che hai fatto in cui il punto $P$ è solidale col disco che ruota ovviamente come sistema mobile puoi vedere il disco rotante in cui il punto è fermo, ma un caso simile è molto semplice e non occorre andare a impazzirsi coi sistemi di riferimento.
Nell'esempio che hai fatto in cui il punto $P$ è solidale col disco che ruota ovviamente come sistema mobile puoi vedere il disco rotante in cui il punto è fermo, ma un caso simile è molto semplice e non occorre andare a impazzirsi coi sistemi di riferimento.
"Faussone":
Dovresti fare un esempio un po' più complesso per darti una risposta.
Nell'esempio che hai fatto in cui il punto $P$ è solidale col disco che ruota ovviamente come sistema mobile puoi vedere il disco rotante in cui il punto è fermo, ma un caso simile è molto semplice e non occorre andare a impazzirsi coi sistemi di riferimento.
Ok se ne trovo cercherò di allenarmi con i problemi. Grazie mille
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