Accelerazione centripeta

[SRV1]

Non riesco a capire bene perchè l'accelerazione in un moto circolare uniforme è centripeta; qualcuno me lo può spiegare?

[Falco5x]

Se la traiettoria di un corpo (p.es. un satellite) devia in direzione mantenendo costante la sua velocità, ciò significa che c'è una forza che curva la traiettoria attirando il satellite in senso ortogonale alla traiettoria. La forza è massa per accelerazione, dunque l'accelerazione ha lo stesso verso della forza. Un pianeta attira il satellite verso di sé, e quindi gli conferisce una forza centrale. L'accelerazione si dice centripeta perché è diretta verso il centro del sistema, cioè il pianeta. Insomma se il satellite compie un'orbita circolare attorno a un pianeta che occupa il centro del cerchio, la velocità è tangenziale alla circonferenza, mentre l'accelerazione (cioè la variazione del vettore velocità rispetto al tempo) è un vettore ortogonale al vettore velocità e diretto verso il centro. Dunque centripeto.

[SRV1]

si si questo è chiaro ma come si arriva matematicamente al fatto che il vettore della accelerazione centripeta è diretto verso il centro?

[nablaquadro]

"SRV":si si questo è chiaro ma come si arriva matematicamente al fatto che il vettore della accelerazione centripeta è diretto verso il centro?

Disegna una circonferenza, poi disegna il vettore velocità $v_0$ (tangente alla circonferenza) al tempo $t_0$ ed il vettore velocità $v_1$ al tempo $t_0$+$\Delta$$t$, cioè dopo aver percorso un arco (piccolino). Dalla definizione di accelerazione sai che dovrai calcolare la differenza tra questi due vettori, se trasli $v_1$ in modo che la sua origine coincida con l'origine di $v_0$, tale differenza è il segmento che unisce le punte dei due vettori, diretto approssimativamente verso il centro. Al tendere di $\Delta$$t$ a 0 il vettore differenza tenderà a dirigersi esattamente verso il centro della circonferenza.

[Falco5x]

Analiticamente se tu hai un vettore dipendente dal tempo ma di modulo costante, la sua derivata è ortogonale ad esso. Infatti preso il vettore $\vecv$, supponiamo che in coordinate cartesiane abbia componenti $(vcos\theta;vsin\theta)$. La sua derivata $(d\vecv)/(dt)$ avrà componenti $(-vsin\theta(d\theta)/(dt);vcos\theta(d\theta)/(dt))$ (ho mantenuto il modulo $v$ costante come da ipotesi). Ponendo, come si usa fare, $(d\theta)/(dt)=\omega$ si può scrivere che le componenti di questo vettore derivato sono $(-\omegavsin\theta;\omegavcos\theta)$. Come è facile verificare, questo vettore è ortogonale a $\vecv$. Dunque se $\vecv$ corre lungo una circonferenza, la sua derivata (che poi è l'accelerazione) è diretta in senso ortogonale alla circonferenza in ogni suo punto, dunque mira esattamente al centro del cerchio.