Accelerazione angolare e tangenziale
ragazzi spero possiate aiutarmi a chiarire un dubbio che mi attanaglia da un paio di ore!!!!
Supponiamo di avere un'asta vincolata ad un estremo O (guardate la figura).
Supponiamo di applicare nell'estremo libero una forza [tex]F[/tex].
Nell'estremo vincolato nascerà una reazione uguale e opposta [tex]R[/tex].
Facendo l'equilibrio alla traslazione, otteniamo che
[tex]F - R = 0[/tex]
Quindi l'accelerazione del centro di massa [tex]a_{CM} = 0[/tex].
Quando però faccio l'equilibrio alla rotazione intorno al punto vincolato O ottengo:
[tex]dF = I\alpha[/tex]
dove [tex]d[/tex] è la lunghezza dell'asta.
Ma allora c'è qualcosa che non mi torna.
e' sbagliato scrivere: [tex]\alpha = \frac{a_{CM}}{r}[/tex] ? dove [tex]r[/tex] è la distanza del [tex]CM[/tex] dal punto vincolato? Cioè il centro di massa sta ruotando attorno al punto vincolato quindi credo debba valere questa relazione, oppure mi sto sbagliando?? però se vale la relazione [tex]\alpha = \frac{a_{CM}}{r}[/tex] avremmo una contraddizione visto che \(\displaystyle a_{CM} = 0 \)!!!! Dove sbaglio?
ps. Nel caso di un disco che rotola senza strisciare su un piano ho letto chiaramente sul mio libro di testo che \(\displaystyle \alpha = \frac{a_{CM}}{r} \)...Il caso dell'asta è diverso forse? Potreste spiegarmi chiaramente!!!
Supponiamo di avere un'asta vincolata ad un estremo O (guardate la figura).
Supponiamo di applicare nell'estremo libero una forza [tex]F[/tex].
Nell'estremo vincolato nascerà una reazione uguale e opposta [tex]R[/tex].
Facendo l'equilibrio alla traslazione, otteniamo che
[tex]F - R = 0[/tex]
Quindi l'accelerazione del centro di massa [tex]a_{CM} = 0[/tex].
Quando però faccio l'equilibrio alla rotazione intorno al punto vincolato O ottengo:
[tex]dF = I\alpha[/tex]
dove [tex]d[/tex] è la lunghezza dell'asta.
Ma allora c'è qualcosa che non mi torna.
e' sbagliato scrivere: [tex]\alpha = \frac{a_{CM}}{r}[/tex] ? dove [tex]r[/tex] è la distanza del [tex]CM[/tex] dal punto vincolato? Cioè il centro di massa sta ruotando attorno al punto vincolato quindi credo debba valere questa relazione, oppure mi sto sbagliando?? però se vale la relazione [tex]\alpha = \frac{a_{CM}}{r}[/tex] avremmo una contraddizione visto che \(\displaystyle a_{CM} = 0 \)!!!! Dove sbaglio?
ps. Nel caso di un disco che rotola senza strisciare su un piano ho letto chiaramente sul mio libro di testo che \(\displaystyle \alpha = \frac{a_{CM}}{r} \)...Il caso dell'asta è diverso forse? Potreste spiegarmi chiaramente!!!
Risposte
Non è affatto vero che la reazione del vincolo è uguale ed opposta alla forza $F$ infatti, anzi un buon esercizio è calcolare quella reazione in funzione del tempo (supponendo che l'asse di rotazione sia verticale cosicchè l'asta ruoti su un piano orizzontale e la forza di gravità si possa tralasciare per semplicità).
Però se così non fosse si avrebbe traslazione del centro di massa!
Se avessimo una accelerazione del centro di massa la prima equazione diventerebbe: \(\displaystyle F - R = ma_{CM} \) ergo il corpo dovrebbe traslare ma è evidente che ciò non accade!! Esso ruota solo attorno al perno!! Come mai?
Inoltre Faussone io credo che sia scorretta la relazione \(\displaystyle \alpha = \frac{a_{CM}}{r} \)
Se avessimo una accelerazione del centro di massa la prima equazione diventerebbe: \(\displaystyle F - R = ma_{CM} \) ergo il corpo dovrebbe traslare ma è evidente che ciò non accade!! Esso ruota solo attorno al perno!! Come mai?
Inoltre Faussone io credo che sia scorretta la relazione \(\displaystyle \alpha = \frac{a_{CM}}{r} \)
Infatti il centro di massa non è fermo, ma ruota attorno ad O: proprio per quello la reazione vincolare non può essere opposta alla forza.
Il legame tra accelerazione angolare della barretta e accelerazione tangenziale del centro di massa è corretto.
Il legame tra accelerazione angolare della barretta e accelerazione tangenziale del centro di massa è corretto.
Ah ho capito. Quindi Faussone ti propongo un ultimo esempio giusto per chiarire.
Prendi un disco poggiato su un piano orizzontale e sul quale sono applicate due forze uguali e opposte ai due estremi del bordo.
Ovviamente il disco non trasla e neanche il centro di massa (infatti tutto ruota attorno al centro di massa), quindi \(\displaystyle F - F = 0 \)
Studiando la rotazione però otteniamo che \(\displaystyle M = I \alpha \)
Ma se è sempre valida la relazione \(\displaystyle \alpha = \frac{a_{CM}}{R} \) come giustifico il fatto che \(\displaystyle a_{CM}= 0 \) e \(\displaystyle \alpha \neq 0 \)
Viceversa se il corpo trasla soltanto, avremmo a \(\displaystyle \neq 0 \) e \(\displaystyle \alpha = 0 \).
Quindi quella relazione tra \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle \alpha \) vale solo se abbiamo una rotazione pura?
Se avessimo traslazione più rotazione, quale legame sussisterebbe?
Grazie mille!
Prendi un disco poggiato su un piano orizzontale e sul quale sono applicate due forze uguali e opposte ai due estremi del bordo.
Ovviamente il disco non trasla e neanche il centro di massa (infatti tutto ruota attorno al centro di massa), quindi \(\displaystyle F - F = 0 \)
Studiando la rotazione però otteniamo che \(\displaystyle M = I \alpha \)
Ma se è sempre valida la relazione \(\displaystyle \alpha = \frac{a_{CM}}{R} \) come giustifico il fatto che \(\displaystyle a_{CM}= 0 \) e \(\displaystyle \alpha \neq 0 \)
Viceversa se il corpo trasla soltanto, avremmo a \(\displaystyle \neq 0 \) e \(\displaystyle \alpha = 0 \).
Quindi quella relazione tra \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle \alpha \) vale solo se abbiamo una rotazione pura?
Se avessimo traslazione più rotazione, quale legame sussisterebbe?
Grazie mille!
Mi pare ti stia perdendo in un bicchier d'acqua..
Nel secondo esempio il centro di massa è fermo certo. La relazione che lega la velocità angolare di un punto alla velocità è sempre $v=omega R$ e quindi l'accelerazione angolare è legata all'accelerazione tangenziale da $a=alpha R$, con $R$ distanza dal centro di rotazione del punto considerato, che nel secondo esempio per il centro di massa è pari a zero.
Nel caso invece di traslazione pura la velocità angolare è nulla e il raggio diventa infinito....
Nel secondo esempio il centro di massa è fermo certo. La relazione che lega la velocità angolare di un punto alla velocità è sempre $v=omega R$ e quindi l'accelerazione angolare è legata all'accelerazione tangenziale da $a=alpha R$, con $R$ distanza dal centro di rotazione del punto considerato, che nel secondo esempio per il centro di massa è pari a zero.
Nel caso invece di traslazione pura la velocità angolare è nulla e il raggio diventa infinito....
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