A che serve la comologia in fisica?

[nomeFantasioso]

Mi spiegate a che serve la comologia in poche parole-una visione big picture-? Quale è la sua motivazione-io ho trovato che è lo studio di $d^2=0$-? Quali sono le sue applicazioni in fisica?

[megas_archon]

"nomeFantasioso":io ho trovato che è lo studio di $d^2=0$

M sembra un po' come dire che l'aritmetica è lo studio di $1+1=2$...

Un senso in cui puoi interpretare la cosa è che l'algebra omologica è una teoria il cui scopo è lo studio delle ostruzioni alla risoluzione di problemi inversi. Derivare è facile; integrare difficile: perché? Quando puoi farlo, e cosa misura l'ostruzione a farlo? A questa domanda risponde la coomologia di de Rham.

Quanto e' lontano uno spazio topologico dall'essere contraibile? Come misurare l'ostruzione a trovare un'equivalenza omotopica \(X\to *\)? A questa domanda risponde la coomologia singolare.

Quanto lontane sono le sezioni locali di un fibrato dall'essere estendibili a sezioni globali? A questa domanda risponde (anche) la coomologia dei fasci.

Quanto lontana e' una varieta' simplettica dall'essere quantizzabile? Coomologia di Hochschhild.

Quanto lontana e' una varieta' quasi complessa dall'essere complessa, ossia dall'avere un atlante di coordinate olomorfe? Coomologia di Dolbeault.

Eccetera.

Per le applicazioni in fisica, aspettiamo qualche fisico, ma l'idea, se ricordo bene, è che dentro un "gruppo delle estensioni" (il tipo piu elementare di oggetto che consideri quando studi coomologia) stanno le informazioni per capire quando un complesso di algebre di Lie \[0\to A\to B\to C\to 0\] (cioè degli omomorfismi di algebre di Lie con la proprietà che la composizione di ogni coppia di mappe contigue fa 0, da qui la condizione "$d^2=0$") è una sequenza esatta.

A suo tempo mi lessi (alcune parti di) https://arxiv.org/abs/1310.7930; puoi andare a vedere (ad esempio) 1.2.10.5, e l'introduzione, qui: