4 molle
Ho fatto questo ragionamento per il lavoro svolto su ogni molla
molla a destra $ -int_(l_0)^(sqrt((l_0+x)^2+y^2)) (-ks) ds $
molla a sinistra $ -int_(l_0)^(sqrt((-l_0+x)^2+y^2)) (-ks) ds $
molla in alto $ -int_(l_0)^(sqrt((-l_0+y)^2+x^2)) (-ks) ds $
molla in basso $ -int_(l_0)^(sqrt((l_0+y)^2+x^2)) (-ks) ds $
alla fine però come somma dei 4 lavori ottengo $ 2kd^2 $
dove sbaglio?
Risposte
L'energia connessa con un allungamento l è [tex]\frac{1}{2}k{l^2}[/tex].
In questo caso se gli allungamenti sono piccoli le due molle orizzontali si allungano (o comprimono) solo se cambia l'ascissa x del punto, mentre le molle verticali si allungano (o comprimono) solo se cambia l'ascissa y.
Sommando i quattro contributi mi pare esca il risultato corretto.
In questo caso se gli allungamenti sono piccoli le due molle orizzontali si allungano (o comprimono) solo se cambia l'ascissa x del punto, mentre le molle verticali si allungano (o comprimono) solo se cambia l'ascissa y.
Sommando i quattro contributi mi pare esca il risultato corretto.
Si in effetti tutto torna, non conoscevo questa regola per i piccoli allungamenti, da dove si ricava?
Prova a fare un disegno e te ne accorgi anche a occhio.
Però si può vedere anche matematicamente.
Prendiamo le molle orizzontali. Sussiste la seguente relazione tra gli allungamenti:
[tex]{l^2} = {\left( {{l_0} + \delta x} \right)^2} + {\left( {\delta y} \right)^2} = {l_0}^2 + {\left( {\delta x} \right)^2} + 2{l_0}\left( {\delta x} \right) + {\left( {\delta y} \right)^2}[/tex]
Per comodità faccio anche la seguente trasformazione:
[tex]{l^2} - {l_0}^2 = \left( {l - {l_0}} \right)\left( {l + {l_0}} \right) = \left( {l - {l_0}} \right)\left( {l - {l_0} + 2{l_0}} \right) = {\left( {l - {l_0}} \right)^2} + 2{l_0}\left( {l - {l_0}} \right)[/tex]
Scrivo sinteticamente l'allungamento della molla in questo modo:
[tex]\left( {l - {l_0}} \right) = \delta l[/tex]
Tra gli allungamenti vale dunque la seguente relazione:
[tex]{\left( {\delta l} \right)^2} + 2{l_0}\left( {\delta l} \right) = {\left( {\delta x} \right)^2} + 2{l_0}\left( {\delta x} \right) + {\left( {\delta y} \right)^2}[/tex]
Ora se tutti gli allungamenti sono piccoli (infinitesimi) è possibile trascurare gli infinitesimi di secondo ordine, overo le grandezze al quadrato, da cui si ricava:
[tex]\delta l = \delta x[/tex]
Però si può vedere anche matematicamente.
Prendiamo le molle orizzontali. Sussiste la seguente relazione tra gli allungamenti:
[tex]{l^2} = {\left( {{l_0} + \delta x} \right)^2} + {\left( {\delta y} \right)^2} = {l_0}^2 + {\left( {\delta x} \right)^2} + 2{l_0}\left( {\delta x} \right) + {\left( {\delta y} \right)^2}[/tex]
Per comodità faccio anche la seguente trasformazione:
[tex]{l^2} - {l_0}^2 = \left( {l - {l_0}} \right)\left( {l + {l_0}} \right) = \left( {l - {l_0}} \right)\left( {l - {l_0} + 2{l_0}} \right) = {\left( {l - {l_0}} \right)^2} + 2{l_0}\left( {l - {l_0}} \right)[/tex]
Scrivo sinteticamente l'allungamento della molla in questo modo:
[tex]\left( {l - {l_0}} \right) = \delta l[/tex]
Tra gli allungamenti vale dunque la seguente relazione:
[tex]{\left( {\delta l} \right)^2} + 2{l_0}\left( {\delta l} \right) = {\left( {\delta x} \right)^2} + 2{l_0}\left( {\delta x} \right) + {\left( {\delta y} \right)^2}[/tex]
Ora se tutti gli allungamenti sono piccoli (infinitesimi) è possibile trascurare gli infinitesimi di secondo ordine, overo le grandezze al quadrato, da cui si ricava:
[tex]\delta l = \delta x[/tex]
Hai ragione era intuibile , cmq grazie per l'aiuto 
@falco: i tuoi passaggi non mi risultano giusti. Per verificare che l'allungamento, delle molle perpendicolari allo spostamento, in direzione ortogonale allo spostamento è un infinitesimo di ordine superiore rispetto all'allungamento delle molle parallele allo spostamento, basta esprimere per ogni molla lo spostamento in coordinate polari.
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