2 problemi che non riesco a risolvere
sono 2 problemini immagino banali di dinamica, per i quali non riesco a trovare soluzione, spero mi possiate dare una mano.
1) una massa puntiforme scivola dalla sommita' di una calotta sferica senza attrito, dire a che altezza da terra avviene il distacco.
ora, la condizione di distacco io la vedo con il fatto che la reazione normale alla superficia sferica si annulli,implicando di trovare in qualche modo l'angolo formato dalla massa puntiforme sulla semisfera al momento del distacco. per trovare l'angolo ho pensato alla conservazione dell'energia meccanica, ma questa mi mette ovviamente in ballo anche la velocita' della massa al momento del distacco....non so come procedere
2) un'asta omogenea e' appoggiata in posizione verticale su un piano. il coefficiente d'attrito tra faccia inferiore dell'asta e piano e' praticamente infinito. l'asta comincia a cadere, si richiede di descriverne il moto, e di calcolare a che angolo formato tra asta e piano avvenga il distacco......ecco, non so dove mettere le mani
grazie in anticipo a chiunque mi rispondera'
1) una massa puntiforme scivola dalla sommita' di una calotta sferica senza attrito, dire a che altezza da terra avviene il distacco.
ora, la condizione di distacco io la vedo con il fatto che la reazione normale alla superficia sferica si annulli,implicando di trovare in qualche modo l'angolo formato dalla massa puntiforme sulla semisfera al momento del distacco. per trovare l'angolo ho pensato alla conservazione dell'energia meccanica, ma questa mi mette ovviamente in ballo anche la velocita' della massa al momento del distacco....non so come procedere
2) un'asta omogenea e' appoggiata in posizione verticale su un piano. il coefficiente d'attrito tra faccia inferiore dell'asta e piano e' praticamente infinito. l'asta comincia a cadere, si richiede di descriverne il moto, e di calcolare a che angolo formato tra asta e piano avvenga il distacco......ecco, non so dove mettere le mani
grazie in anticipo a chiunque mi rispondera'
Risposte
1) Esatto, il momento del distacco è caratterizzato dalla forza normale che smette di agire. Dal punto di vista dinamico, sulla massa lungo la discesa (moto circolare uniformemente accelerato) agiscono le seguenti forze: forza peso e forza normale: $mgsintheta-N=mv^2/r$, indicando con $theta$ l'angolo che il vettore posizione r forma con il suolo. Nel momento del distacco questa equazione diventa: $gsintheta=v^2/r$.
Poi applicando la conservazione dell'energia meccanica hai $mgr=mgrsintheta+1/2mv^2$.
Metti a sistema queste due equazioni a incognite $theta$ e $v$ e ottieni $sintheta=2/3$. Il che vuol dire che la massa si stacca ad un'altezza pari a $h=rsintheta=2/3r$, rispetto al centro della sfera, e quindi rispetto a terra $h=5/3r$
Poi applicando la conservazione dell'energia meccanica hai $mgr=mgrsintheta+1/2mv^2$.
Metti a sistema queste due equazioni a incognite $theta$ e $v$ e ottieni $sintheta=2/3$. Il che vuol dire che la massa si stacca ad un'altezza pari a $h=rsintheta=2/3r$, rispetto al centro della sfera, e quindi rispetto a terra $h=5/3r$
ok grazie, quindi in linea di principio c'ero:) per il secondo problema niente?
Cosa si intende per descrivere il moto?
Presumo che si intenda dal punto di vista qualitativo, perché dubito che si possa ottenere una soluzione eplicita della legge di moto in forma di combinazione finita di funzioni elementari....
ciao
Presumo che si intenda dal punto di vista qualitativo, perché dubito che si possa ottenere una soluzione eplicita della legge di moto in forma di combinazione finita di funzioni elementari....
ciao
"arjov":
a che angolo formato tra asta e piano avvenga il distacco
in che senso??non capisco quale distacco avviene!Da quello che ho capito io è unìasta incernierata al paviemento che parte verticalmente e poi cade!
io credo sia richiesta l'equazione del moto, ma sto iniziando a dubitare della domanda. diciamo che il punto interessante e' il secondo.
no , non e' incernierata, l'asta e' appoggiata( diciamo che sarebbe abbastanza banale se fosse incernierata). per distacco si intende che durante la sua caduta, si solleva...si vuole capire a che angolo avvenga il distacco.. non so come schematizzarlo meglio...prova a casa con un'asta molto lunga per rallentare il movimento e capirai.lascia un bastone, vedrai che ad un tratto la parte che e' per terra "slitta" e ritocca terra dopo la parte superiore. durante la caduta, il baricentro dell'asta ovviamente si sposta e il peso ha un momento che mette in rotazione l'asta, l'attrito ovviamente tiene l'asta a terra, finche' non avviene lo slittamento e, evidentemente, si richiede "quanto prima di toccare il suolo" cio' avvenga.
no , non e' incernierata, l'asta e' appoggiata( diciamo che sarebbe abbastanza banale se fosse incernierata). per distacco si intende che durante la sua caduta, si solleva...si vuole capire a che angolo avvenga il distacco.. non so come schematizzarlo meglio...prova a casa con un'asta molto lunga per rallentare il movimento e capirai.lascia un bastone, vedrai che ad un tratto la parte che e' per terra "slitta" e ritocca terra dopo la parte superiore. durante la caduta, il baricentro dell'asta ovviamente si sposta e il peso ha un momento che mette in rotazione l'asta, l'attrito ovviamente tiene l'asta a terra, finche' non avviene lo slittamento e, evidentemente, si richiede "quanto prima di toccare il suolo" cio' avvenga.
Il fatto che il coefficiente sia infinito, implica che difficilmente l'asta scivola in avanti?
e' quello che ho pensato, ma evidentemente esiste una condizione per cui si ha distacco in senso verticale. credo la forza di attrito equilibri quindi qualunque componente lungo x sulla sbarra, ma non lungo y.
in fondo sappiamo che una cerniera semplice puo' essere schematizzata con 2 forze tra loro normali, che impedirebbero all'asta incernierata di sollevarsi. ma evidentemente il coeff. di attrito infinito ci fornisce una condizione diversa, ovvero soltanto una reazione lungo x. quindi non appena il baricentro si sposta di una quantita' sufficiente dal punto "appiccicoso" evidentemente si realizzera' la condizione di distacco, che io non riesco a modellare...
in fondo sappiamo che una cerniera semplice puo' essere schematizzata con 2 forze tra loro normali, che impedirebbero all'asta incernierata di sollevarsi. ma evidentemente il coeff. di attrito infinito ci fornisce una condizione diversa, ovvero soltanto una reazione lungo x. quindi non appena il baricentro si sposta di una quantita' sufficiente dal punto "appiccicoso" evidentemente si realizzera' la condizione di distacco, che io non riesco a modellare...
in poche parole credo che dare attrito infinito in fin dei conti sia una semplificazione piu' che altro per la prima domanda, onde evitare di dover studiare un moto troppo complesso,che implichi una rototraslazione
Rinunciando a una descrizione del moto nel regime del tempo, che insisto non è fattibile in termini elementari, si può ragionare in questo modo.
1) descrivo il fenomeno in funzione dell'angolo, almeno fino al distacco
2) fino a che non avviene il distacco, la barra si comporta come se avesse una cerniera alla base (in effetti il vincolo di contatto puntiforme con attrito infinito è una cerniera quando può funzionare)
3) con la conservazione dell'energia ho il moto delle barra in ogni posizione
4) con le equazioni di equilibrio dinamico posso determinare, sempre in funzione della posizione, la reazione vincolare della cerniera
5) fino a che la componete verticale della forza che la cerniera esercita sulla barra è positiva, tutto OK
6) nel momento in cui questa si annulla (dopo diventerebbe negativa) le cose cambiano. In questo istante, dato che il contatto è unilaterale, si realizza il distacco e viene meno anche la componente orizzontale
7) da questo momento la barra è libera e scende sotto l'azione del peso conservando il momento angolare
8) puoi calcolare l'istante in cui uno dei suoi estremi tocca di nuovo il pavimento
9) da lì in poi il moto si complica un po', ma per andare avanti dovresti fare ipotesi sulla natura dell'urto...
ciao
1) descrivo il fenomeno in funzione dell'angolo, almeno fino al distacco
2) fino a che non avviene il distacco, la barra si comporta come se avesse una cerniera alla base (in effetti il vincolo di contatto puntiforme con attrito infinito è una cerniera quando può funzionare)
3) con la conservazione dell'energia ho il moto delle barra in ogni posizione
4) con le equazioni di equilibrio dinamico posso determinare, sempre in funzione della posizione, la reazione vincolare della cerniera
5) fino a che la componete verticale della forza che la cerniera esercita sulla barra è positiva, tutto OK
6) nel momento in cui questa si annulla (dopo diventerebbe negativa) le cose cambiano. In questo istante, dato che il contatto è unilaterale, si realizza il distacco e viene meno anche la componente orizzontale
7) da questo momento la barra è libera e scende sotto l'azione del peso conservando il momento angolare
8) puoi calcolare l'istante in cui uno dei suoi estremi tocca di nuovo il pavimento
9) da lì in poi il moto si complica un po', ma per andare avanti dovresti fare ipotesi sulla natura dell'urto...
ciao
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