1°a equazione cardinale
Salve a tutti ho questo piccolo problema :
Ho due cilindri di Massa M e raggio R disposti orizzontalmente su un piano orizzontale su cui rotolano senza strisciare . Sopra di essi c'è un blocco parallelepipedo di massa M e lunghezza L il quale non striscia sui cilindri. Ad un certo tempo t viene applicata una forza F costante orizzontalmente al blocco ( all' estremo destro del blocco)
Ho da calcolare le equazioni di moto pre il blocco
In pratica per trovare queste incognite ho posto questo sistema :
dove I è gia il momento di inerzia calcolato rispetto al punto di contatto e per i cilindri e da determinare le accelerazioni
dei vari corpi, nonché le reazioni d’attrito A1 fra ogni cilindro e il blocco ed A2 fra ogni
cilindro e piano.
Ho posto questo sistema
$ I alpha = 2 R A1 $
$ Ma= F-2A1 $
$ a= 2 R alpha $
Ho dato un'occhiata alle soluzioni poiche la condizione di puro rotolamento l'avevo imposta come $ a = alpha R $
La prima domanda che mi sorge è : "perchè c'è quel due?" Ciò è dato dalla presenza di due blocchi?
La seconda domanda è :
Ho da calcolare anche A2 ovvero attrito tra cilindro e piano.
Nel mio disegno ho imposto A1 come forza applicata nel punto di contatto tra Blocco e Cilindro e verso da destra verso sinistra. Per A2 invece applico la forza nel punto di contatto tra i cilindri e il terreno con verso opposto : da sinistra verso destra.
Ora nelle soluzioni il mio professore scrive che $M a = M alpha R = A1 -A2 $
Non capisco proprio il perchè se il centro di massa si sposta verso destra! C'entra qualcosa il verso dell'accelerazione angolare? Grazie a tutti
Ho due cilindri di Massa M e raggio R disposti orizzontalmente su un piano orizzontale su cui rotolano senza strisciare . Sopra di essi c'è un blocco parallelepipedo di massa M e lunghezza L il quale non striscia sui cilindri. Ad un certo tempo t viene applicata una forza F costante orizzontalmente al blocco ( all' estremo destro del blocco)
Ho da calcolare le equazioni di moto pre il blocco
In pratica per trovare queste incognite ho posto questo sistema :
dove I è gia il momento di inerzia calcolato rispetto al punto di contatto e per i cilindri e da determinare le accelerazioni
dei vari corpi, nonché le reazioni d’attrito A1 fra ogni cilindro e il blocco ed A2 fra ogni
cilindro e piano.
Ho posto questo sistema
$ I alpha = 2 R A1 $
$ Ma= F-2A1 $
$ a= 2 R alpha $
Ho dato un'occhiata alle soluzioni poiche la condizione di puro rotolamento l'avevo imposta come $ a = alpha R $
La prima domanda che mi sorge è : "perchè c'è quel due?" Ciò è dato dalla presenza di due blocchi?
La seconda domanda è :
Ho da calcolare anche A2 ovvero attrito tra cilindro e piano.
Nel mio disegno ho imposto A1 come forza applicata nel punto di contatto tra Blocco e Cilindro e verso da destra verso sinistra. Per A2 invece applico la forza nel punto di contatto tra i cilindri e il terreno con verso opposto : da sinistra verso destra.
Ora nelle soluzioni il mio professore scrive che $M a = M alpha R = A1 -A2 $
Non capisco proprio il perchè se il centro di massa si sposta verso destra! C'entra qualcosa il verso dell'accelerazione angolare? Grazie a tutti
Risposte
Ciascun cilindro rotola senza strisciare sul piano. Vuol dire che nel punto di contatto la velocità relativa è nulla. LA condizione di rotolamento puro del cilindro è certamente : $v = \omegaR $ e quindi , derivando rispetto al tempo : $a = \alphaR$ .
MA questa $a$ è l'accelerazione del CM del cilindro. Il punto di contatto $P$ tra cilindro e blocco soprastante dista $2R$ dal piano, cioè dal centro di istantanea rotazione del cilindro. E quindi la sua velocità è doppia di quella del CM del cilindro.
Anche la sua accelerazione è doppia di quella del CM : $a_P = 2R * \alpha$ . Il blocco sopra i due cilindri si muove, rispetto al piano, con velocità e accelerazione doppia rispetto a quella del CM dei cilindri.
MA questa $a$ è l'accelerazione del CM del cilindro. Il punto di contatto $P$ tra cilindro e blocco soprastante dista $2R$ dal piano, cioè dal centro di istantanea rotazione del cilindro. E quindi la sua velocità è doppia di quella del CM del cilindro.
Anche la sua accelerazione è doppia di quella del CM : $a_P = 2R * \alpha$ . Il blocco sopra i due cilindri si muove, rispetto al piano, con velocità e accelerazione doppia rispetto a quella del CM dei cilindri.
Si ma nel sistema la $ a $ è quella del punto di contatto o del centro di massa?
Nella seconda equazione ho $ M a = F - 2A1 $ e c'è scritto nelle soluzioni che è la prima cardinale del blocco quindi suppongo sia l' $ a_cm $ e non $ a_p $ . O forse ( quasi sicuramente ) mi sbaglio ?
Edit : Mi correggo. Ho capito ! Poiche il punto di contatto tra cilindri e blocco ha $a = 2 alpha R $ essa sarà l'accelerazione del blocco parallelepipedo !
Inoltre qualcuno può chiarirmi il dubbio della seconda domanda? Grazie
Nella seconda equazione ho $ M a = F - 2A1 $ e c'è scritto nelle soluzioni che è la prima cardinale del blocco quindi suppongo sia l' $ a_cm $ e non $ a_p $ . O forse ( quasi sicuramente ) mi sbaglio ?
Edit : Mi correggo. Ho capito ! Poiche il punto di contatto tra cilindri e blocco ha $a = 2 alpha R $ essa sarà l'accelerazione del blocco parallelepipedo !
Inoltre qualcuno può chiarirmi il dubbio della seconda domanda? Grazie
Per il blocco:
$F-(A_1+A_2)=Ma$
Per il rullo di sx, equazione di momento nel punto di contatto:
$A_1cdot2R=\frac{3}{2}MR^2\alpha$
Per il rullo di dx, equazione di momento nel punto di contatto:
$A_2cdot2R=\frac{3}{2}MR^2\alpha$
$A_1$ e $ A_2$ non sono in generale costanti al passare del tempo, ma la loro somma e' costante:
Quindi: $(A_1+A_2)2R=2\cdot\frac{3}{2}MR^2\alpha=2\frac{3}{2}MR\cdotR\alpha$
Siccome $2R\alpha=a$
$A_1+A_2=\frac{\frac{3}{2}MRa}{2R}=\frac{3}{4}Ma$
da cui $F=\frac{7}{4}Ma$ (dalla prima) e quindi $a=\frac{4F}{7M}$
$F-(A_1+A_2)=Ma$
Per il rullo di sx, equazione di momento nel punto di contatto:
$A_1cdot2R=\frac{3}{2}MR^2\alpha$
Per il rullo di dx, equazione di momento nel punto di contatto:
$A_2cdot2R=\frac{3}{2}MR^2\alpha$
$A_1$ e $ A_2$ non sono in generale costanti al passare del tempo, ma la loro somma e' costante:
Quindi: $(A_1+A_2)2R=2\cdot\frac{3}{2}MR^2\alpha=2\frac{3}{2}MR\cdotR\alpha$
Siccome $2R\alpha=a$
$A_1+A_2=\frac{\frac{3}{2}MRa}{2R}=\frac{3}{4}Ma$
da cui $F=\frac{7}{4}Ma$ (dalla prima) e quindi $a=\frac{4F}{7M}$
Mi sa che c'è qualcosa che non va nei simboli adoperati dal ProfK.
Secondo i simboli adoperati da Andp , $A_1$ e $A_2$ non sono le forze tra blocco e ciascuno dei cilindri, cioè quelle due che stanno "in alto". Sono invece, per uno stesso cilindro, la forza di attrito "in alto" e la forza di attrito "in basso" .
Cioè, gli indici $1$ 3 $2$ non si riferiscono ai due blocchi, ma a "sopra" e "sotto" . Per cui, per il blocco si ha :
$F - 2A_1 = Ma $
Comunque il risultato finale per l'accelerazione del blocco, che io ho trovato con la 2° equazione cardinale, è giusto :
$a = (4F)/(7M) $
Nota $a$ , è nota l'accelerazione angolare : $\alpha = 1/(2R) * a $ , ed è nota pure l'accelerazione del centro $C$ di ciascun cilindro.
PErciò, scrivendo l'eq. del moto del cilindro , si può ricavare la forza di attrito col piano .
Secondo i simboli adoperati da Andp , $A_1$ e $A_2$ non sono le forze tra blocco e ciascuno dei cilindri, cioè quelle due che stanno "in alto". Sono invece, per uno stesso cilindro, la forza di attrito "in alto" e la forza di attrito "in basso" .
Cioè, gli indici $1$ 3 $2$ non si riferiscono ai due blocchi, ma a "sopra" e "sotto" . Per cui, per il blocco si ha :
$F - 2A_1 = Ma $
Comunque il risultato finale per l'accelerazione del blocco, che io ho trovato con la 2° equazione cardinale, è giusto :
$a = (4F)/(7M) $
Nota $a$ , è nota l'accelerazione angolare : $\alpha = 1/(2R) * a $ , ed è nota pure l'accelerazione del centro $C$ di ciascun cilindro.
PErciò, scrivendo l'eq. del moto del cilindro , si può ricavare la forza di attrito col piano .
Ah, ecco perche' non mi tornava ne' il sistema, ne il segno negativo della soluzione!
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