Verifica identità di Plancherel

[tommy1996q]

Cercando su internet ho trovato questa dimostrazione (in cui alla fine il segno è sbagliato, ma lasciamo stare) dell'identità di Plancherel: https://math.stackexchange.com/question ... ls-formula

Mi torna tutto, tranne alla terza riga quando praticamente dice che $\int _{-\infty} ^{+\infty} e^{i(\omega - \omega ')t} dt = 2 \pi \delta(\omega- \omega ')$, con $\delta$ il delta di Kronecker. Come fa a dire che vale quella cosa se sta integrando da meno infinito a più infinito? Mi tornerebbe se integrasse su un periodo, ma scritto così l'integrale non dovrebbe essere indefinito? Grazie dell'aiuto.

[dissonance]

Veramente quella è la delta di Dirac. Quell'integrale non ha senso: non è convergente. Tuttavia, se proprio uno volesse dargli un senso, l'unica possibilità è la formula che hai scritto. Secondo Gerry Folland, che parafrasa Lord Kelvin, "un fisico matematico è uno per cui la formula \(\int_{-\infty}^\infty e^{i(\omega-\omega')t}\, dt = 2\pi\, \delta(\omega-\omega')\) è ovvia" (cfr. introduzione di "Quantum Field Theory: a tourist guide for mathematicians". Prova a consultarlo se vuoi).

P.S. Questa è la citazione originale di Lord Kelvin, tratta da http://zapatopi.net/kelvin/quotes/

S. P. Thompson: "Once when lecturing in class he [the Lord Kelvin] used the word 'mathematician' and then interrupting himself asked his class: 'Do you know what a mathematician is?' Stepping to his blackboard he wrote upon it: integral from - infinty to + infinity of exp(-x^2)dx = sqrt(pi). Then putting his finger on what he had written, he turned to his class and said, 'a mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you.'"