Un Dubbio su:Misura e Cardinalità di un insieme numerabile
Premetto che non so se questo sia o meno la sezione giusta,nel caso ho sbagliato,mi scuso.
Salve,incominciando a studiare gli spazi misurati e quindi le misure,ho letto una cosa che mi ha lasciato qualche dubbio,e vi sarei grato se mi potreste aiutare,sempre se non vi disturba.La definizione,che mi ha fatto venire qualche dubbio,è questa:
"Se un sottoinsieme è finito,noi definiamo la sua misura essere il numero dei suoi elementi,mentre se il sottoinsieme è infinito,la sua misura è $oo$"
La cosa che non capisco è:il numero di elementi di un insieme non è la sua cardinalità?
Salve,incominciando a studiare gli spazi misurati e quindi le misure,ho letto una cosa che mi ha lasciato qualche dubbio,e vi sarei grato se mi potreste aiutare,sempre se non vi disturba.La definizione,che mi ha fatto venire qualche dubbio,è questa:
"Se un sottoinsieme è finito,noi definiamo la sua misura essere il numero dei suoi elementi,mentre se il sottoinsieme è infinito,la sua misura è $oo$"
La cosa che non capisco è:il numero di elementi di un insieme non è la sua cardinalità?
Risposte
Chiamo \(\mathbb{N}^\rhd\) l'insieme $\mathbb N \cup \{oo\}$ con la sua naturale struttura di ordine totale.
Allora mandare un insieme al più numerabile nella sua cardinalità è una funzione \(\mu : 2^\mathbb{N} \to \mathbb N^\rhd\) che soddisfa tutti gli assiomi di una misura click.
Se vuoi spingere la notazione \(2^\mathbb{N}\) (per indicare l'insieme delle parti di $\mathbb N$) alle estreme conseguenze, un sottoinsieme di $\mathbb N$ viene identificato con una sequenza \((a_n)\) di 0 ed 1; allora \(\mu(a_n) = \sum a_n\), con la convenzione che se $a_n$ non ha supporto finito (ovvero l'insieme degli indici \(\{m\mid a_m\neq 0\}\) non è finito) allora $\mu(a_n)=\infty$.
Sono gran poche (credo nessuna) le misure che siano finite su un intervallo non banale di $\mathbb R$ e allo stesso tempo tali che $\mu(N) > 0$ per un insieme finito o numerabile.
Allora mandare un insieme al più numerabile nella sua cardinalità è una funzione \(\mu : 2^\mathbb{N} \to \mathbb N^\rhd\) che soddisfa tutti gli assiomi di una misura click.
Se vuoi spingere la notazione \(2^\mathbb{N}\) (per indicare l'insieme delle parti di $\mathbb N$) alle estreme conseguenze, un sottoinsieme di $\mathbb N$ viene identificato con una sequenza \((a_n)\) di 0 ed 1; allora \(\mu(a_n) = \sum a_n\), con la convenzione che se $a_n$ non ha supporto finito (ovvero l'insieme degli indici \(\{m\mid a_m\neq 0\}\) non è finito) allora $\mu(a_n)=\infty$.
Sono gran poche (credo nessuna) le misure che siano finite su un intervallo non banale di $\mathbb R$ e allo stesso tempo tali che $\mu(N) > 0$ per un insieme finito o numerabile.
Scusa,non ho capito molto bene,misura e cardinalità di un insieme sono collegati?
La cardinalità è una misura generalizzata.
e io che pensavo fosse l'opposto.
Grazie per il tuo aiuto
p.s:per sapere,la misura di un insieme $H$ di cardinalità \( \aleph_n \)
ha una misura di :
\( \mu(H)=0 \) se n=0,altrimenti \( \mu(H)=2^{\mu(P)} \) (dove $P$ è un insieme di cardinalità \( \aleph_{n-1} \) )?
p.p.s:la formula lo trovata con un mio ragionamento,ma non so se sia esatta.
Grazie per il tuo aiuto
p.s:per sapere,la misura di un insieme $H$ di cardinalità \( \aleph_n \)
ha una misura di :
\( \mu(H)=0 \) se n=0,altrimenti \( \mu(H)=2^{\mu(P)} \) (dove $P$ è un insieme di cardinalità \( \aleph_{n-1} \) )?
p.p.s:la formula lo trovata con un mio ragionamento,ma non so se sia esatta.
La domanda ovviamente non ha senso, in nessun senso 
non c'è un'unica misura su un insieme, e un insieme di cardinalità \(\aleph_n\) non è sottoinsieme di un unico insieme.
Vedendo i tuoi post in giro, molti utenti sospettano tu abbia fatto un passo più lungo di quanto consentito dalle tue attuali competenze; un po' di topologia generale e analisi di base (e algebra, e qualche integrale fatto coi conti) potrebbero farti bene: ti consiglio di studiare da qualche libro elementare salendo via via di livello. Senza temere di partire _davvero_ dall'inizio.
non c'è un'unica misura su un insieme, e un insieme di cardinalità \(\aleph_n\) non è sottoinsieme di un unico insieme.Vedendo i tuoi post in giro, molti utenti sospettano tu abbia fatto un passo più lungo di quanto consentito dalle tue attuali competenze; un po' di topologia generale e analisi di base (e algebra, e qualche integrale fatto coi conti) potrebbero farti bene: ti consiglio di studiare da qualche libro elementare salendo via via di livello. Senza temere di partire _davvero_ dall'inizio.
Grazie nuovamente,per quanto riguarda la seconda parte è piu facile a dirsi che a farsi
Non ne vedo il motivo: ci sono ottimi libri reperibili online pieni di esercizi e che riguardano una teoria molto ben compresa. 
E' un buon consiglio quello che un matematico ha messo in bocca a una regina qualche tempo fa:
E' un buon consiglio quello che un matematico ha messo in bocca a una regina qualche tempo fa:
“Inizia dall'inizio e vai avanti finché non arrivi alla fine: poi, fermati.”
Io provai già 2 anni fa a fare esercizi di analisi 1 e mi riuscirono tutti,ma per quanto riguarda l'algebra astratta(e anche teoria degli insiemi,topologia,algebra lineare,etc....),ammetto di non sapere assolutamente niente(effettivamente le uniche cose che abbia studiato sono o di analisi o di geometria(quest'ultima abbastanza superficialmente)).Inizialmente,quando iniziai a studiare pensavo di fare un ramo della matematica alla volta,pensando,ingenuamente,che non fossero collegati.Ora per completare questo percorso,devo finire di studiare,questi concetti di analisi reale e funzionale e poi ri-iniziare.Ti ringrazio.
[ot]
Ho voluto dire la mia opinione.
Mi sembra un ottimo consiglio.[/ot]
Non aggiunge niente alla discussione, ma secondo me esistono misure così. Prendi per esempio la restrizione della misura di Lebesgue a \([-1,0]\) e sommale \(\sum_{j=1}^\infty 2^{-j}\delta_j\), dove \(\delta_j\) è una delta di Dirac concentrata in \(x=j\).
Sono gran poche (credo nessuna) le misure che siano finite su un intervallo non banale di R e allo stesso tempo tali che μ(N)>0 per un insieme finito o numerabile.
Ho voluto dire la mia opinione.
“Inizia dall'inizio e vai avanti finché non arrivi alla fine: poi, fermati.”
Mi sembra un ottimo consiglio.[/ot]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo