Uguaglianza di Parseval
Buongiorno,
Non riesco a comprendere la seguente uguaglianza, detta uguaglianza di Parseval.
Data $f:RR->RR$, tale che
$f in L^2((-pi;+pi))$
$f$ è $2pi-$periodica
Allora, considerando coefficienti di Fourier di $f$, ovvero $a_0, a_n$ e $b_n$, vale la seguente uguaglianza:
$int_(-pi)^(+pi) f^2(x)dx= pi (a_0^2)/2 + sum_(n=1)^(+oo)a_n^2+b_n^2= sum_(n=0)^(+oo)c_n^2$
Che fine fanno i seni ed i coseni della serie di Fourier?
Da dove spunta fuori quel $pi$ che moltiplica $(a_0^2)/2$?
Non riesco a comprendere la seguente uguaglianza, detta uguaglianza di Parseval.
Data $f:RR->RR$, tale che
$f in L^2((-pi;+pi))$
$f$ è $2pi-$periodica
Allora, considerando coefficienti di Fourier di $f$, ovvero $a_0, a_n$ e $b_n$, vale la seguente uguaglianza:
$int_(-pi)^(+pi) f^2(x)dx= pi (a_0^2)/2 + sum_(n=1)^(+oo)a_n^2+b_n^2= sum_(n=0)^(+oo)c_n^2$
Che fine fanno i seni ed i coseni della serie di Fourier?
Da dove spunta fuori quel $pi$ che moltiplica $(a_0^2)/2$?
Risposte
L'identità di Parseval può essere vista come una generalizzazione del teorema di Pitagora (De Marco lo chiamava "teorema di Pitagora infinito"). Hai letto la dimostrazione? Perché le tue domande trovano risposta nella dimostrazione.
Sarebbe ben strano se un numero (quale è $norm(f)_(2,[-pi,pi])$) fosse una funzione di $x$, non trovi?
Certamente, ma non capisco in che modo i coseni ed i seni diventino uguali ad 1.
Di sicuro si fa uso di
$cos^2(x)+sin^2(x)=1$
ma non capisco in che modo
Di sicuro si fa uso di
$cos^2(x)+sin^2(x)=1$
ma non capisco in che modo
Hai letto la dimostrazione?
Da quale testo stai studiando?
Da quale testo stai studiando?
Dal libro del mio prof.
L'uguaglianza non c'è sul libro ma è stata presentata a lezione senza dimostrazione
L'uguaglianza non c'è sul libro ma è stata presentata a lezione senza dimostrazione
Se hai visto qualcosa della teoria degli spazi di Hilbert astratti, la cosa è semplice.
Se $H$ è uno spazio di Hilbert (reale o complesso) infinito-dimensionale[nota]Se lo spazio è finito-dimensionale la cosa è molto più semplice ed è argomento di Algebra Lineare.[/nota] e $\{ e_n\}_(n in NN)$ è un sistema ortonormale completo (i.e., una base hilbertiana di $H$), allora per ogni $f in H$ hai:
$f = sum_(n=0)^oo <>\ e_n$
(qui $<< * , * >>$ è il prodotto scalare in $H$) e da ciò, con un po' di manipolazioni elementari[nota]Ricorda che $norm(f)^2 = <>$ per ogni $f in H$ e che il prodotto scalare è bilineare nel caso reale (o sesquilineare nel caso complesso).[/nota], segue che:
$norm(f)^2 = sum_(n=0)^oo | << f, e_n >> |^2\ norm(e_n)^2 = sum_(n=0)^oo | << f, e_n >> |^2$.
Se interpreti i coefficienti $<< f, e_n >>$ nel caso concreto $H=L_("per")^2(-pi, pi)$ con gli $\{e_n\}_(n in NN)$ dati dal sistema trigonometrico $\{ 1, 1/pi cos x, 1/pi sin x, 1/pi cos 2x, 1/pi sin 2x, ..., 1/pi cos nx, 1/pi sin nx, ...\}$, allora l'uguaglianza si riscrive proprio:
$norm(f)_(2, (-pi, pi))^2 = a_0^2/2 + sum_(n=1)^oo a_n^2 + b_n^2$
(a meno di qualche costante di normalizzazione che posso aver dimenticato... Controlla sul tuo libro: deve esserci; e se non c'è, prendi un libro decente).
Lo stesso se consideri il sistema esponenziale complesso $\{1/(2pi) e^{i n x}\}_(n in ZZ)$.
Se $H$ è uno spazio di Hilbert (reale o complesso) infinito-dimensionale[nota]Se lo spazio è finito-dimensionale la cosa è molto più semplice ed è argomento di Algebra Lineare.[/nota] e $\{ e_n\}_(n in NN)$ è un sistema ortonormale completo (i.e., una base hilbertiana di $H$), allora per ogni $f in H$ hai:
$f = sum_(n=0)^oo <
(qui $<< * , * >>$ è il prodotto scalare in $H$) e da ciò, con un po' di manipolazioni elementari[nota]Ricorda che $norm(f)^2 = <
$norm(f)^2 = sum_(n=0)^oo | << f, e_n >> |^2\ norm(e_n)^2 = sum_(n=0)^oo | << f, e_n >> |^2$.
Se interpreti i coefficienti $<< f, e_n >>$ nel caso concreto $H=L_("per")^2(-pi, pi)$ con gli $\{e_n\}_(n in NN)$ dati dal sistema trigonometrico $\{ 1, 1/pi cos x, 1/pi sin x, 1/pi cos 2x, 1/pi sin 2x, ..., 1/pi cos nx, 1/pi sin nx, ...\}$, allora l'uguaglianza si riscrive proprio:
$norm(f)_(2, (-pi, pi))^2 = a_0^2/2 + sum_(n=1)^oo a_n^2 + b_n^2$
(a meno di qualche costante di normalizzazione che posso aver dimenticato... Controlla sul tuo libro: deve esserci; e se non c'è, prendi un libro decente).
Lo stesso se consideri il sistema esponenziale complesso $\{1/(2pi) e^{i n x}\}_(n in ZZ)$.
grazie mille gugo82!
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