Trasformate parte intera
Buonasera, sono giunto all'ultima tipologia di esercizi (finalmente) ma riscontro qualche problema nella comprensione del testo..
1) Trasformata di Laplace
Viene assegnata la seguente successione definita per ricorrenza :
dove \(\displaystyle [n] \) indica la parte intera di \(\displaystyle n \). Adesso però ho qualche dubbio nel calcolo della trasformata Zeta di \(\displaystyle [n] \). Essendo una successione l'indice \(\displaystyle n \) non è discreto? Cioè non dovrebbe essere \(\displaystyle [n]=n \)? Di conseguenza :
2) Trasformata di Fourier
Determinate la trasformata di Fourier di :
dove \(\displaystyle [t] \) è la parte intera di \(\displaystyle t \). Da quel poco che ho trovato in rete ho visto che la parte intera di una variabile è una funzione a gradini. Provando a scriverla sotto forma di "funzione" mi è uscito fuori :
con \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) fissato. Ma non vedo come questo possa aiutarmi..sicuramente sto approcciando l'esercizio con l'ottica sbagliata..per favore c è qualcuno che è in grado di indirizzarmi?
1) Trasformata di Laplace
Viene assegnata la seguente successione definita per ricorrenza :
\(\displaystyle \begin{cases} a_{n+2} -2\;a_{n+1} +a_n = [n] \\ a_0=1 \;\;;\;\;a_1=0 \end{cases} \)
dove \(\displaystyle [n] \) indica la parte intera di \(\displaystyle n \). Adesso però ho qualche dubbio nel calcolo della trasformata Zeta di \(\displaystyle [n] \). Essendo una successione l'indice \(\displaystyle n \) non è discreto? Cioè non dovrebbe essere \(\displaystyle [n]=n \)? Di conseguenza :
\(\displaystyle \mathcal{Z}\{[n]\} = \mathcal{Z}\{n\} = \frac{z}{(z-1)^2} \)
2) Trasformata di Fourier
Determinate la trasformata di Fourier di :
\(\displaystyle f(t) = (-1)^{[t]}(t-[t])^2 \)
dove \(\displaystyle [t] \) è la parte intera di \(\displaystyle t \). Da quel poco che ho trovato in rete ho visto che la parte intera di una variabile è una funzione a gradini. Provando a scriverla sotto forma di "funzione" mi è uscito fuori :
\(\displaystyle g(t) = n \;u(t-n) + \sum_{j=n+1}^{\infty} u(t-j) \)
con \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) fissato. Ma non vedo come questo possa aiutarmi..sicuramente sto approcciando l'esercizio con l'ottica sbagliata..per favore c è qualcuno che è in grado di indirizzarmi?
Risposte
Per il primo esercizio continuo ad avere il dubbio, per il secondo invece credo che si possa partire da qui :
la funzione parte intera è una funzione discreta (cioè assume valore costante ad intervalli), quindi spezzando l'integrale nei vari intervalli si può scrivere :
risolviamo i vari integrali per parti, quindi :
in cui ho messo in evidenza anche i risultati degli altri integrali. Svolgendo i calcoli si ottiene la combinazione lineare degli integrali all'interno della parentesi tonda (quella all'interno della sommatoria) si ottiene :
è possibile che la trasformata di Fourier di quel segnale sia questa sommatoria?
\(\displaystyle \mathcal{F}\{f(t)\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} (-1)^{[t]}(t-[t])^2 \;e^{-2\pi\;i \omega t} \;dt \)
la funzione parte intera è una funzione discreta (cioè assume valore costante ad intervalli), quindi spezzando l'integrale nei vari intervalli si può scrivere :
\(\displaystyle = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{k}^{k+1} (-1)^k (t-k)^2 \;e^{-2\pi\;i \omega t} \; dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} (-1)^k \left( \int_{k}^{k+1} t^2 \;e^{-2\pi\;i \omega t} \; dt - 2k \;\int_{k}^{k+1} t \;e^{-2\pi\;i \omega t} \; dt + k^2 \; \int_{k}^{k+1} \;e^{-2\pi\;i \omega t} \; dt \right) \)
risolviamo i vari integrali per parti, quindi :
\(\displaystyle \int_{k}^{k+1} t^2 \;e^{-2\pi\;i \omega t} \; dt = \left[t^2 \;\left(-\frac{e^{-2\pi\;i \omega t}}{2\pi\;i\omega}\right)\right]_{k}^{k+1} + \frac{1}{\pi\;i\omega} \; \int_{k}^{k+1} t \; e^{-2\pi\;i \omega t} \;dt \)
\(\displaystyle = - \frac{1}{2\pi\;i\omega} \; \left[t^2 \;e^{-2\pi\;i \omega t}\right]_{k}^{k+1} + \frac{1}{\pi\;i\omega} \left( - \frac{1}{2\pi\;i\omega} \; \left[t \;e^{-2\pi\;i\omega t} \right]_{k}^{k+1} + \frac{1}{2\pi\;i\omega} \;\int_{k}^{k+1} e^{-2\pi\;i\omega t} \;dt \right) \)
\(\displaystyle = - \frac{1}{2\pi\;i\omega} \; \left[t^2 \;e^{-2\pi\;i \omega t}\right]_{k}^{k+1} - \frac{1}{(2\pi\;i\omega)(\pi\;i\omega)} \;\left[t \;e^{-2\pi\;i\omega t} \right]_{k}^{k+1} + \frac{1}{(2\pi\;i\omega)(\pi\;i\omega)} \; \left(-\frac{1}{2\pi\;i\omega} \; \left[e^{-2\pi\;i\omega t} \right]_{k}^{k+1} \right) \)
in cui ho messo in evidenza anche i risultati degli altri integrali. Svolgendo i calcoli si ottiene la combinazione lineare degli integrali all'interno della parentesi tonda (quella all'interno della sommatoria) si ottiene :
\(\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} (-1)^k \; \frac{e^{-2\pi\;i\omega k}}{2\pi\;i\omega} \left(e^{-2\pi\;i\omega} \;\frac{2k(k+1)(2\pi^2\omega^2 + 1)+2\pi^2\omega^2+2\pi\;i \omega - 1}{(2\pi\;i\omega)(\pi\;i\omega)} - \frac{1}{(2\pi\;i\omega)(\pi\;i\omega)} \right) \)
è possibile che la trasformata di Fourier di quel segnale sia questa sommatoria?
Per il primo probabilmente c'è stato un errore di scrittura, ma così come l'hai scritto è corretto che $[n]=n$. Anche il secondo mi sembra stia bene (modulo conti che non ho controllato). Puoi semplificare un po' nella
sommatoria. In effetti non mi è chiaro se la serie sia convergente, ma non c'è a priori motivo di aspettarselo visto che la funzione assegnata non è $L^1$.
P.S. Per calcolare la trasformata di Fourier, forse fai prima osservando che la funzione da trasformare si può scrivere così:
$f(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^k g(t-k), $
dove $g(t)=t^2\cdot\mathbf 1_{0\le t \le 1}$ (questo simbolo $\mathbf 1$ indica la funzione che vale $1$ in $t\in [0, 1]$ e $0$ altrove, probabilmente in ingegneria la si chiama "rettangolo"). Quindi la trasformata di Fourier verifica
$F(\omega)=\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^k e^{-2\pi i k\omega}G(\omega).$
In questo modo ti basta calcolare un solo integrale, ma il metodo è esattamente quello che hai scritto tu.
sommatoria. In effetti non mi è chiaro se la serie sia convergente, ma non c'è a priori motivo di aspettarselo visto che la funzione assegnata non è $L^1$.
P.S. Per calcolare la trasformata di Fourier, forse fai prima osservando che la funzione da trasformare si può scrivere così:
$f(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^k g(t-k), $
dove $g(t)=t^2\cdot\mathbf 1_{0\le t \le 1}$ (questo simbolo $\mathbf 1$ indica la funzione che vale $1$ in $t\in [0, 1]$ e $0$ altrove, probabilmente in ingegneria la si chiama "rettangolo"). Quindi la trasformata di Fourier verifica
$F(\omega)=\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^k e^{-2\pi i k\omega}G(\omega).$
In questo modo ti basta calcolare un solo integrale, ma il metodo è esattamente quello che hai scritto tu.
Grazie mille del chiarimento 
cercherò di tenere a mente i passaggi per semplificare i calcoli nel secondo esercizio perchè mi hanno portato via parecchio tempo e probabilmente durante l'esame (in cui il tempo è limitato) avrei sicuramente mollato.
cercherò di tenere a mente i passaggi per semplificare i calcoli nel secondo esercizio perchè mi hanno portato via parecchio tempo e probabilmente durante l'esame (in cui il tempo è limitato) avrei sicuramente mollato.
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