TrasformataLaplace

[franzcecco]

Salve,
mi trovo in difficoltà nella risoluzione di questa trasformata: f(t)= sin(2t)/t. Ho provato a riscrivere il sin(2t) come somma di esponenziali, ma a quel punto mi ritrovo la trasformata di 1/t che non riesco a calcolare (per parti?). Sarei grato a qualcuno che mi saprebbe indicare la via giusta, vi ringrazio in anticipo =)

[gugo82]

La trasformata $X(s)$ di \(x(t)=\frac{\sin t}{t}\) dovrebbe essere nota o calcolabile facilmente.

Fatto ciò, osserva che:
\[
f(t) = \frac{\sin 2t}{t} = 2\ \frac{\sin 2t}{2t} = 2\ x(2t)
\]
cosicché:
\[
F(s) = 2\ \mathcal{L}[x(2t)](s) = 2\ \frac{1}{2}\ X\left( \frac{s}{2}\right) = X\left( \frac{s}{2}\right)\; ,
\]
per linearità e riscalamento.

[franzcecco]

Si si era quel X(s/2) il problema... ho notato che la derivata prima di X è proprio la trasformata del seno... Il fatto è che poi posso passare all'integrale in s per risalire alla sua primitiva? E gli estremi sono sempre da 0 a più infinito? Mi ritrovo col risultato tranne per l'estremo inferiore, che andrebbe calcolato in t=s, e non in t=0...