Trasformata Z gradino traslato

[lucajeck.22]

Salve a tutti, qualcuno mi può spiegare come faccio a trovare la trasformata Z della seguente funzione:

$ y(k)=(1+2sen(3k))u(k-5) $

La prima parte è molto semplice, applicando la proprietà del ritardo della trasformata ottengo:

$ (z^(-h))(z/(z-1)) = (z^(-5))(z/(z-1)) $

Per la seconda parte non so come fare.

[pilloeffe]

Ciao juro94,

Benvenuto sul forum!

"juro94":Per la seconda parte non so come fare.

Se non sto dando i numeri vista l'ora dovrebbe restarti

$ Z[2sin(3k)]u(k - 5) = 2 Z[sin(3k)]u(k - 5) = 2 \sum_{k = 0}^{+\infty} sin(3k) u(k - 5) z^-k $

A questo punto porrei $n := k - 5 \implies k = n + 5 $ e poi spezzerei la somma $\sum_{n = -5}^{+\infty} = \sum_{n = -5}^{- 1} + \sum_{n = 0}^{+\infty} $
L'ultima somma si riconduce facilmente alla trasformata $Z$ e poi si sfrutta il fatto che $sin(3n + 15) = sin(3n) cos(15) + cos(3n)sin(15) $ unitamente alle due $Z$ trasformate 19 e 20 di questa pagina.

[lucajeck.22]

"pilloeffe":Benvenuto sul forum!

Grazie mille, anche per la risposta!

è tutto chiarissimo, ieri nell'attesa di una risposta ho provato a risolverla come faccio anche per le trasformate di Laplace, sapresti dirmi se tutto ciò è legale?

Visto che devo portare l'argomento del seno a $ (3(k-5)) $ ho prima addizionato e sottratto 5:

$ 2sin(3(k-5+5)) = 2sin(3(k-5)+15) $

A questo punto ho utilizzato le formule di addizione e sottrazione degli archi, e quindi ho ottenuto:

$ 2[sin(3(k-5))cos(15)+cos(3(k-5))sin(15)] = -1.52sin(3(k-5))+1.3cos(3(k-5)) $

Poi ne ho fatto la $ Z $ trasformata utilizzando la proprietà del ritardo e le due $ Z $ traformate da te linkate:

$-1.52 (z^(-5))(zsin(3))/(z^2-2zcos(3)+1) +1.3 (z^(-5))(z^2-zcos(3))/(z^2-2zcos(3)+1)$

[pilloeffe]

"juro94":sapresti dirmi se tutto ciò è legale?

Sì, sì, tranquillo, è legale anche come hai fatto tu...
Ammetto di non aver controllato tutti i conti, ma così ad occhio direi che il risultato è lo stesso...