Trasformata Z - Equazioni alle differenze

[Exodus1]

Faccio fatica a capire cosa scrivi, magari se migliori il modo di presentare le formule
riesco ad aiutarti

[gugo82]

Com'è definita la trasformata?

Basta sapere quello...

[Exodus1]

Ti mostro come attraverso le proprietà della trasformata è giunto a quel risultato:

Abbiamo il seguente segnale ( ho tralasciato il fattore di scala = $80$):

\(U\left ( n \right )=a^{n}h\left [ n-k \right ]=4^{n}h\left [ n-2 \right ]\)

$h$ rappresenta la funzione che vale $1$ per $n>0$ e $0$ altrove, in pratica un gradino unitario con una traslazione di $-2$

Poi ha trasformato usando la seguente proprietà:

\(h\left [ n-k \right ]=\frac{z^{^{-k}}}{1-z^{-1}}\)

Dopodichè ha appplicato la seguente proprietà (moltiplicazione per $a^n$):

\(a^{n}h\left [ n-k \right ]=H\left ( \frac{z}{a} \right )=\frac{z}{z-a}\left ( \frac{z}{a} \right )^{-k}\)

sostituendo i valori , moltiplicando per $80$ e valutando per $z=20$:

\(80\frac{20}{20-4}\left ( \frac{20}{4} \right )^{-2}=4\)

[gugo82]

"gugo82":Com'è definita la trasformata?

Basta sapere quello...

Se, come credo, ti hanno definito la trasformata come:

$mathcal(U)(z) = sum_(n=0)^oo (u(n))/z^n$

è evidente che:

$mathcal(U)(20) = sum_(n=0)^oo (u(n))/(20)^n$.

Nel tuo caso hai:

$mathcal(U)(20) = sum_(n=2)^oo (80*4^n)/(20)^n = 80*sum_(n=2)^oo (1/5)^n \stackrel{k=n-2}{=} 80*sum_(k=0)^oo (1/5)^(k+2) = 80/5^2*sum_(k=0)^oo (1/5)^k = 80/25*1/(1-1/5)=(80*5)/(25*4)=4$

in cui non si è usato nulla che già non fosse noto da Analisi I (i.e., la somma della serie geometrica) e dalle scuole medie (proprietà delle potenze).