Trasformata Z di una successione definita per ricorrenza

[IngSteve]

Ciao ragazzi, sto avendo alcune difficoltà nell'impostare la trasformazione del secondo membro. Potete aiutarmi?
La successione definita per ricorrenza è:





La trasformata Z del primo membro è: $ Zx-x=x(Z-1) $

Per quanto riguarda il secondo membro ho difficoltà a impostare le successioni, mi verrebbe da fare $ sum_{n=0}^infty n*z^-(4+k)$ ma non sono sicuro di dove mi porterebbe questa scelta. Secondo voi è corretto? Devo continuare così?

[Studente Anonimo]

Poiché la trasformata del secondo membro è:

$\sum_{n=4}^{+oo}nz^(-n)=\sum_{n=0}^{+oo}nz^(-n)-z^(-1)-z^(-2)-z^(-3)=z/(z-1)^2-1/z-1/z^2-1/z^3=(z^3+z-1)/(z^3(z-1)^2)$

per la trasformata della soluzione si ha:

$[zX(z)-X(z)=(z^3+z-1)/(z^3(z-1)^2)] rarr [X(z)=(z^3+z-1)/(z^3(z-1)^3)]$

[IngSteve]

Chiaro! Grazie Tante!

[dissonance]

Secondo me per un esempio così semplice non c'è bisogno di usare strumenti tanto sofisticati. Io scriverei i primi termini non nulli della successione:
\[
x(4)=4, \]
poi
\[\tag{1}
x(5)=4+x(4),\quad x(6)=5+4+x(4), \quad \ldots,\quad x(n)=(n-1)+n+\ldots+4+x(4).\]
Si tratta quindi di calcolare la somma
\[
\sum_{k=4}^{n-1} k= \sum_{k=1}^{n-1}k-(1+2+3)=\frac{n(n-1)}{2}-6.\]
Inserendo questo nella (1), e tenendo conto che \(x(4)=4\),
\[
x(n)=\frac{n(n-1)}{2}-2.\]
È sempre meglio controllare il risultato: \(x(4)=2\cdot 3 -2=4\) (ok), e \(x(5)=5\cdot 2 -2=8\) (ok). I primi due termini sono corretti quindi possiamo stare tranquilli.