Trasformata Fourier funzione Triangolo

[frat92ds]

Buonasera a tutti,

Sto provando calcolare la trasformata di Fourier della funzione triangolo : $f(x)= (1-|x|)$

Procedendo applicando la definizione di Trasformata di Fourier :

$F(omega)=int_-oo^(+oo)(1-|x|)e^(-iomegat)dt=\int_-1^0(1+x)e^(-iomegat)dt+\int_0^1(1-x)e^(-iomegat)dt$
Risolvendo gli integrali mi risulta :$F(omega)=e^(iomega)/(iomega)*(1+x)-(2x)/(iomega)+e^(-iomega)/(iomega)*(x-1)$

Ora sapendo che la Trasformata in oggetto dovrebbe restituirmi $(sinc(x))^2$, ho commesso qualche errore di calcolo che non riesco ad individuare. Qualcuno potrebbe indicami l'errore commesso ed eventualmente il passaggio corretto da eseguire ?

Grazie mille del supporto !

[pilloeffe]

Ciao frat92ds,

Innanzitutto devi deciderti: o usi $x$ o usi $t$, non entrambe...
Poi se integri in $x$ ovviamente in $F(\omega) $ non può comparire $x$

Visto che mi pare di capire che ti sia stata assegnata $f(x) = (1 - |x|)^+ = \text{tri}(x) $ teniamoci $x$, anche se trattandosi di segnali probabilmente sarebbe più opportuno usare $t$.
Si ha:

$ F(\omega)=\int_{-\infty}^(+\infty) \text{tri}(x) e^(-i\omega x)\text{d}x=\int_-1^0(1+x)e^(-i\omega x) \text{d}x+\int_0^1(1-x)e^(-i\omega x) \text{d}x = $
$ = (1 - e^(i \omega) + i \omega)/\omega^2 -(-1 + e^(-i \omega) + i \omega)/\omega^2 = (2 - e^(i \omega) - e^(-i \omega))/\omega^2 = (2 - 2 cos(\omega))/\omega^2 = (4 sin^2(\omega/2))/\omega^2 = $
$ = sin^2(\omega/2)/(\omega/2)^2 = \text{sinc}^2(\omega/2) $

[frat92ds]

Grazie presterò più attenzione a non voler complicare ulteriormente il testo .

Comunque perchè in questo passaggio sottrai invece di sommare i 2 risultati degli integrali ? :
$ = (1 - e^(i \omega) + i \omega)/\omega^2 -(-1 + e^(-i \omega) + i \omega)/\omega^2 $

Grazie

[pilloeffe]

"frat92ds":Comunque perché in questo passaggio sottrai invece di sommare i 2 risultati degli integrali ?

Beh, in realtà semplicemente perché il risultato del secondo integrale si può esprimere così (provare per credere... ), infatti si ha:

$ \int_-1^0(1+x)e^(-i\omega x) \text{d}x = \int_-1^0 e^(-i\omega x) \text{d}x + \int_-1^0 xe^(-i\omega x) \text{d}x = (i(1 - e^(i \omega)))/\omega + (1 + i\omega e^(i \omega) - e^(i \omega))/\omega^2 = (1 - e^(i \omega) + i \omega)/\omega^2 $

$ \int_0^1(1-x)e^(-i\omega x) \text{d}x = \int_0^1 e^(-i\omega x) \text{d}x - \int_0^1 xe^(-i\omega x) \text{d}x = (i(e^(- i \omega) - 1))/\omega - (-1 + e^(-i \omega) + i \omega e^(-i \omega))/\omega^2 = $
$ = -(-1 + e^(-i \omega) + i \omega)/\omega^2 $

ove si è fatto uso dei due integrali

$\int e^{a x} \text{d}x = e^{a x}/a + c $

$\int x e^{a x} \text{d}x = (e^{a x}(ax - 1))/a^2 + c $

con $a := - i\omega $

[frat92ds]

Ti ringrazio molto della spiegazione