Trasformata Fourier

[valeyyyyy]

Ciao a tutti, ho questa funzione di cui devo calcolare la trasformata di Fourier $ f(x)=(1+x)e^-(|x|) $ . Utilizzo la definizione $ F(omega)=int_(-oo )^(oo ) f(x)e^-(iomegax) dx $. L'ho calcolata spezzandola in due parti $ f(x)=e^-(|x|)+xe^-(|x|) $ e si trova (il risultato dovrebbe essere, se non ho sbagliato qualcosa) $ F(omega )=(2omega^2-4iomega+2)/((1+omega^2)^2 $ . Ora stavo pensando ad un modo alternativo per calcolare la mia trasformata, ma mi porta ad un risultato simile ma non uguale. La funzione è $ f(x)=(1+x)e^-(|x|) $, sostituisco $ t=1+x $ quindi $ x=t-1 $ e $ dt=dx $ , a questo punto ottengo una $ f(t)=te^-(|t-1|) $ . So che la trasformata di e^-(|t-1|) dovrebbe essere $ e^-(iomega)*2/(1+omega^2 $ per la proprietà $ g(t)=f(t-a)rarr G(omega)=e^(-iomegaa)F(omega) $ . A questo punto, ultimo passaggio $ g(t)=tf(t)rarr G(omega)=i*d/(domega)F(omega) $ , quindi alla fine dovremmo avere (se non ho commesso errori) $ ((2e^-(iomega)*[(1+omega^2)-2iomega])/((1+omega^2)^2)) $ . Ora la mia domanda è questa, perché si giunge a due risultati diversi? Cosa è sbagliato nel secondo metodo utilizzato? Perdonatemi se ho commesso qualche errore, ma ho iniziato a lavorare con le trasformate di Fourier da pochi giorni. Vi ringrazio

[Studente Anonimo]

"lucat":
... il risultato dovrebbe essere, se non ho sbagliato qualcosa ...

Confermo:

$\int_{-oo}^{+oo}e^(-i\omegax)(1+x)e^(-|x|)dx=$

$=\int_{-oo}^{0}e^(-i\omegax)(1+x)e^xdx+\int_{0}^{+oo}e^(-i\omegax)(1+x)e^(-x)dx=$

$=\int_{-oo}^{0}e^((1-i\omega)x)(1+x)dx+\int_{0}^{+oo}e^((-1-i\omega)x)(1+x)dx=$

$=1/(1-i\omega)[e^((1-i\omega)x)(1+x-1/(1-i\omega))]_{-oo}^{0}-1/(1+i\omega)[e^((-1-i\omega)x)(1+x+1/(1+i\omega))]_{0}^{+oo}=$

$=1/(1-i\omega)(1-1/(1-i\omega))+1/(1+i\omega)(1+1/(1+i\omega))=$

$=(2(\omega^2-2i\omega+1))/(1+\omega^2)^2$

"lucat":
L'ho calcolata spezzandola in due parti ...

Non era strettamente necessario spezzare anche la funzione. Ad ogni modo, per quanto riguarda il modo alternativo, si tratta di calcolare il seguente integrale:

$[1+x=t] rarr [e^(i\omega)\int_{-oo}^{+oo}e^(-i\omegat)te^(-|t-1|)dt]$

Intanto, mi sembra che tu abbia dimenticato il fattore $e^(i\omega)$.

[valeyyyyy]

"anonymous_0b37e9":[quote="lucat"]
... il risultato dovrebbe essere, se non ho sbagliato qualcosa ...

Confermo:

$\int_{-oo}^{+oo}e^(-i\omegax)(1+x)e^(-|x|)dx=$

$=\int_{-oo}^{0}e^(-i\omegax)(1+x)e^xdx+\int_{0}^{+oo}e^(-i\omegax)(1+x)e^(-x)dx=$

$=\int_{-oo}^{0}e^((1-i\omega)x)(1+x)dx+\int_{0}^{+oo}e^((-1-i\omega)x)(1+x)dx=$

$=1/(1-i\omega)[e^((1-i\omega)x)(1+x-1/(1-i\omega))]_{-oo}^{0}-1/(1+i\omega)[e^((-1-i\omega)x)(1+x+1/(1+i\omega))]_{0}^{+oo}=$

$=1/(1-i\omega)(1-1/(1-i\omega))+1/(1+i\omega)(1+1/(1+i\omega))=$

$=(2(\omega^2-2i\omega+1))/(1+\omega^2)^2$

"lucat":
L'ho calcolata spezzandola in due parti ...

Non era strettamente necessario spezzare anche la funzione. Ad ogni modo, per quanto riguarda il modo alternativo, si tratta di calcolare il seguente integrale:

$[1+x=t] rarr [e^(i\omega)\int_{-oo}^{+oo}e^(-i\omegat)te^(-|t-1|)dt]$

Intanto, mi sembra che tu abbia dimenticato il fattore $e^(i\omega)$.[/quote]

Giusto, ora mi è tutto chiaro. Grazie mille