Trasformata Fourier

[Dxerxes]

Salve ragazzi,
mi sono imbattuto in questo esercizio che è differente dallo standard del mio prof, quindi mi trovo un pò spiazzato.
$x_0(t)=e^(jt u(t))sin(pi t)[u(t+2)-u(t-2)]$
Quel gradino all'esponenziale ha rovinato tutto perchè se non ci fosse stato, avrei applicato la proprietà(visto l'esponenziale) e poi derivato fino a far sparire i gradini...ma il gradino all'esponenziale non scomparirà mai in questo modo
Voi come lo impostereste? Vi ringrazio tanto

[anonymous_0b37e9]

Puoi sempre provare applicando le definizioni:

$[x_0(t)=e^(itu(t))[u(t+2)-u(t-2)]sinpit] rarr$

$rarr [x_0(t)=e^(itu(t))sinpit] ^^ [-2 lt t lt 2] rarr$

$rarr [\int_{-oo}^{+oo}e^(i\omegat)x_0(t)dt=\int_{-2}^{2}e^(i\omegat)e^(itu(t))sinpitdt=\int_{-2}^{0}e^(i\omegat)sinpitdt+\int_{0}^{2}e^(i(\omega+1)t)sinpitdt]$

e ricordando che:

$[sinpit=(e^(i\pit)-e^(-i\pit))/(2i)]$

[Dxerxes]

ho provato ad applicare la definizione di gradino.
In questo modo ottengo che $x_0(t)$ viene diviso nella somma di $x_01(t)$ (quando il gradino vale 1 cioè per $t>0$ ) e $x_02(t)$ (quando il gradino vale 0 cioè per $t<0$) tutto moltimplicato per la porta che va da 0 a 2.
Quindi dovrei trasformare questo:
$x_0(t) = x_01(t)+x_02(t)$
$x_01(t) = 1sin(pi t)[u(t)-u(t-2)]$ e
$x_02(t) = e^(jt)sin(pi t)[u(t)-u(t-2)]$

[anonymous_0b37e9]

Non ho compreso bene come intenderesti procedere. Continuo a proporti i contenuti del mio primo messaggio.

"anonymous_0b37e9":
$[x_0(t)=e^(itu(t))[u(t+2)-u(t-2)]sinpit] rarr [x_0(t)=e^(itu(t))sinpit] ^^ [-2 lt t lt 2]$

Se preferisci:

$[t lt -2] rarr [x_0(t)=0]$

$[-2 lt t lt 0] rarr [x_0(t)=sinpit]$

$[0 lt t lt 2] rarr [x_0(t)=e^(it)sinpit]$

$[t gt 2] rarr [x_0(t)=0]$

Non resta che svolgere l'integrale, nemmeno troppo impegnativo.

"anonymous_0b37e9":
$[\int_{-2}^{0}e^(i\omegat)sinpitdt+\int_{0}^{2}e^(i(\omega+1)t)sinpitdt] ^^ [sinpit=(e^(i\pit)-e^(-i\pit))/(2i)]$