Trasformata di Fourier

[Poski1]

Avrei bisogno di una mano con questo esercizio.

Si consideri la funzione:
$ hat(f)(k)= e^(ik\cdot y)/((2pi)^(3/2)|k|^2) $ con $ kin R^3 $ , $ yin R^3 $.
Verificare che $ hat(f) $ è la trasformata di Fourier della funzione:
$ f(x)=1/(4pi|x-y|) $ con $ xinR^3 $.
Grazie per l'aiuto.

[pilloeffe]

Ciao Poski,

Innanzitutto immagino tu intenda $x \in \RR^3 $, $y \in \RR^3 $ e $k \in \RR^3 $

Hai provato applicando semplicemente la definizione?

$ hat(f)(k) = 1/(2\pi)^{3/2}\int_{\RR^3} e^{- i k \cdot x} f(x) \text{d}x = 1/(2\pi)^{3/2} \int_{\RR^3} e^{- i k \cdot x} 1/(4\pi|x - y|) \text{d}x = e^{i k \cdot y}/(2\pi)^{3/2} \int_{\RR^3} e^{- i k \cdot x} 1/(4\pi|x|) \text{d}x = $
$ = e^{i k \cdot y}/(4\pi (2\pi)^{3/2}) \int_{\RR^3} e^{- i k \cdot x} 1/(|x|) \text{d}x $

In generale data $ g(x) = 1/|x|^{\alpha} $ con $x \in \RR^n $ per $0 < \text{Re}[\alpha] < n $ si ha:

$ hat(g)(k) = \int_{\RR^n} e^{- i k \cdot x} g(x) \text{d}x = (2\pi)^n/c_{n, \alpha}|k|^{-(n - \alpha)} $

ove $ c_{n, \alpha} = \pi^{n/2} 2^{\alpha}\frac{\Gamma(\alpha/2)}{\Gamma((n - \alpha)/2)} $

Nel caso particolare in esame $0 < \alpha = 1 < n = 3 $, per cui $ c_{3, 1} = 2 \pi^{3/2} \frac{\Gamma(1/2)}{\Gamma((3 - 1)/2)} = 2 \pi^{3/2} \sqrt{\pi} = 2\pi^2 $ e si ha:

$ hat(g)(k) = \int_{\RR^3} e^{- i k \cdot x} g(x) \text{d}x = (2\pi)^3/(2\pi^2) |k|^{-(3 - 1)} = (4\pi)/|k|^2 $

Pertanto in effetti mi risulta che la trasformata di Fourier della funzione $f(x) = 1/(4\pi|x - y|) $ proposta sia $ hat(f)(k) = e^{i k \cdot y}/((2\pi)^{3/2}|k|^2) $

[Poski1]

Grazie per la risposta.
Mi sono reso conto adesso che il testo dell'esercizio poteva essere interpretato anche come l'hai risolto tu, però in realtà mi chiede di partire dalla trasformata per poi tornare alla funzione.