Trasformata di Fourier
Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente esercizio che non so come risolvere:
Si consideri la funzione: $ f(x)=e^(-a|x|^2) $, con $ x in R^n $ e $ a>0 $ . Trovare la sua trasformata di Fourier.
Qualche consiglio su come risolverlo?
Grazie.
Si consideri la funzione: $ f(x)=e^(-a|x|^2) $, con $ x in R^n $ e $ a>0 $ . Trovare la sua trasformata di Fourier.
Qualche consiglio su come risolverlo?
Grazie.
Risposte
Beh questo è proprio super-classico. Sei matematico? Fisico? Ingegnere? Ci sono due modi per fare questo calcolo: l'equazione differenziale o il completamento del quadrato, in genere ai matematici si insegna il primo (ma io preferisco il secondo). Se cerchi "fourier transform of the Gaussian" troverai migliaia di hits.
Grazie per la risposta.
Guardando un po' in giro ho trovato il modo di risolverlo, ma ho ancora qualche problema.
Allora per quello che ho visto a lezione so che devo risolvere:
$ hat(f)(k)= 1/(2pi)^(n/2) int f(x)*e^(-ikx) dx $
Se adesso fossimo in $ R $ non ci sarebbe alcun problema invece, dopo un po' di passaggi, mi ritrovo con:
$ 1/(2pi)^(n/2)e^-(k^2/(4a)) inte^(-a(x+(ik)/(2a))^2)dx $
So che qui dovrei applicare una sostituzione per trovarmi dentro l'integrale con $ e^(-t^2) $ però sono bloccato dal fatto che siamo in $ R^n $. Sicuramente c'è qualcosa che non mi ricordo io però non sto proprio riuscendo a risolverlo.
Guardando un po' in giro ho trovato il modo di risolverlo, ma ho ancora qualche problema.
Allora per quello che ho visto a lezione so che devo risolvere:
$ hat(f)(k)= 1/(2pi)^(n/2) int f(x)*e^(-ikx) dx $
Se adesso fossimo in $ R $ non ci sarebbe alcun problema invece, dopo un po' di passaggi, mi ritrovo con:
$ 1/(2pi)^(n/2)e^-(k^2/(4a)) inte^(-a(x+(ik)/(2a))^2)dx $
So che qui dovrei applicare una sostituzione per trovarmi dentro l'integrale con $ e^(-t^2) $ però sono bloccato dal fatto che siamo in $ R^n $. Sicuramente c'è qualcosa che non mi ricordo io però non sto proprio riuscendo a risolverlo.
Il conto si fa su \(\mathbb R\). Poi lo estendi a \(\mathbb R^n\) osservando che
\[
\int_{\mathbb R^n} e^{-|x|^2-ik\cdot x}\, dx = \prod_{j=1}^n \int_{-\infty}^\infty e^{-x_j^2-ik_jx_j}\, dx_j.\]
\[
\int_{\mathbb R^n} e^{-|x|^2-ik\cdot x}\, dx = \prod_{j=1}^n \int_{-\infty}^\infty e^{-x_j^2-ik_jx_j}\, dx_j.\]
Perfetto, grezie.
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