Trasformata di Fourier

[antonio.ruta.184]

Ciao a tutti, potreste darmi qualche indicazione su come risolvere questa trasformata di Fourier? $ f(x)=(x-1)e^(-2|x|) $ Non so come procedere. Vi ringrazio

[pilloeffe]

Ciao antor,

Innanzitutto, di quale definizione di trasformata di Fourier fai uso?
Poi osserverei che si ha:

$f(x) = (x - 1)e^{-2|x|} = x e^{-2|x|} - e^{-2|x|} $

Se fai uso della definizione $F(\omega) := \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-i \omega x} \text{d}x $ la trasformata del secondo termine è piuttosto nota, dato che si ha:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a|x|} e^{-i \omega x} \text{d}x = (2a)/(a^2 + \omega^2) \qquad a \in CC, \text{Re}(a) > 0 $

Per il primo termine c'è da fare un ragionamento, ma fa parte delle proprietà della trasformata di Fourier che dovresti conoscere...

[antonio.ruta.184]

"pilloeffe":Ciao antor,

Innanzitutto, di quale definizione di trasformata di Fourier fai uso?
Poi osserverei che si ha:

$f(x) = (x - 1)e^{-2|x|} = x e^{-2|x|} - e^{-2|x|} $

Se fai uso della definizione $F(\omega) := \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-i \omega x} \text{d}x $ la trasformata del secondo termine è piuttosto nota, dato che si ha:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a|x|} e^{-i \omega x} \text{d}x = (2a)/(a^2 + \omega^2) \qquad a \in CC, \text{Re}(a) > 0 $

Per il primo termine c'è da fare un ragionamento, ma fa parte delle proprietà della trasformata di Fourier che dovresti conoscere...

Grazie per la risposta. Riflettendo penso si tratti del prodotto di convoluzione, giusto? Essendo i primissimi esercizi, queste proprietà le ho studiate ma le sto applicando solo ora. Dunque, praticamente si calcolano le trasformate di Fourier delle singole funzioni e poi si fa il prodotto, giusto? Grazie

[pilloeffe]

"antor":Grazie per la risposta.

Prego.

"antor":Riflettendo penso si tratti del prodotto di convoluzione [...]

Perché?
Noterei semplicemente che se $g(x) = - ix e^{-a|x|} $ allora $G(\omega) = D[\mathcal{F}(e^{-a|x|})] $, per cui si ha:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-a|x|} e^{-i \omega x} \text{d}x = i \int_{-\infty}^{+\infty} -ix e^{-a|x|} e^{-i \omega x} \text{d}x = i D[(2a)/(a^2 + \omega^2)] = -(4 a i \omega)/(a^2 + \omega^2)^2 $

Naturalmente per l'esercizio proposto basta considerare il caso particolare $a = 2 $