Trasformata di Fourier
Ciao a tutti 
Ho questi due esercizi sulla trasformata di Fourier e non capisco alcuni passaggi:
Non riesco a capire perchè per il primo applichi la regola di derivazione in quel modo e nel secondo non mi è chiaro l'ultimo passaggio ossia:
$ 1/2[Delta(j(omega -1))+Delta(j(omega+1))]=1/2(1+1)=1 $
Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano?
Ho questi due esercizi sulla trasformata di Fourier e non capisco alcuni passaggi:
Non riesco a capire perchè per il primo applichi la regola di derivazione in quel modo e nel secondo non mi è chiaro l'ultimo passaggio ossia:
$ 1/2[Delta(j(omega -1))+Delta(j(omega+1))]=1/2(1+1)=1 $
Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano?
Risposte
Ciao ilsaggio,
Non è una regola di derivazione, ma un caso particolare della ben nota proprietà della trasformata di Fourier seguente:
$ \mathcal{F}[t^n f(t)] = j^n frac{d^n}{d\omega^n} \mathcal{F}[f(t)] $
Nel tuo caso per $x_1(t) $ si ha $n = 1 $ e $f(t) = \delta(t) $, per cui si ha:
$ X_1(j\omega) = \mathcal{F}[x_1(t)] = \mathcal{F}[t \delta(t)] = j frac{d}{d\omega} \mathcal{F}[\delta(t)] = j frac{d}{d\omega} \Delta(j\omega) = j frac{d}{d\omega}(1) = 0 $
Basta che dai un'occhiata alla definizione di $\Delta(j\omega) $ che vale $1 \quad \AA \omega \in RR $, quindi anche per $\omega + 1 $ e $\omega - 1 $...
"ilsaggio":
Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano?
"ilsaggio":
Non riesco a capire perchè per il primo applichi la regola di derivazione in quel modo
Non è una regola di derivazione, ma un caso particolare della ben nota proprietà della trasformata di Fourier seguente:
$ \mathcal{F}[t^n f(t)] = j^n frac{d^n}{d\omega^n} \mathcal{F}[f(t)] $
Nel tuo caso per $x_1(t) $ si ha $n = 1 $ e $f(t) = \delta(t) $, per cui si ha:
$ X_1(j\omega) = \mathcal{F}[x_1(t)] = \mathcal{F}[t \delta(t)] = j frac{d}{d\omega} \mathcal{F}[\delta(t)] = j frac{d}{d\omega} \Delta(j\omega) = j frac{d}{d\omega}(1) = 0 $
"ilsaggio":
nel secondo non mi è chiaro l'ultimo passaggio
Basta che dai un'occhiata alla definizione di $\Delta(j\omega) $ che vale $1 \quad \AA \omega \in RR $, quindi anche per $\omega + 1 $ e $\omega - 1 $...
Grazie innanzitutto per la risposta scusami ma non ho ancora capito l'ultimo passaggio ossia
Perchè forse mi sfugge il concetto di $ Delta(jomega) $ sarebbe :
$ Delta(jomega)=\mathcal(F) (delta(t)) $ ?
scusami ma non ho ancora capito l'ultimo passaggio ossia"pilloeffe":
Basta che dai un'occhiata alla definizione di Δ(jω) che vale 1 ∀ω∈R, quindi anche per ω+1 e ω−1...
Perchè forse mi sfugge il concetto di $ Delta(jomega) $ sarebbe :
$ Delta(jomega)=\mathcal(F) (delta(t)) $ ?
Beh, c'è scritto al quarto rigo...
ok grazie ora l'ho notato...
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