Trasformata di Fourier!!
Ciao a tutti 
Ho un problema nella risoluzione di questo integrale... tendo ad incartarmi un pochetto.
Spiego prima come sono arrivata all'integrale:
Inizialmente mi è stata data la seguente funzione d'onda $ \psi(x,0)=N[e^(-a(x-x_0)^2/2)+e^(-a(x+x_0)^2/2)], a,x_0\inR $ e mi viene chiesto di trovare, dopo aver trovato la costante N di normalizzazione, la funzione d'onda nello spazio dei vettori l'onda k, quindi
$ tilde(\psi)(k,0)=\frac{1}{\sqrt(2\pi)}int_(-infty)^(infty) e^(-ikx)\psi(x,0) dx =\frac{2Ne^(-k^2/2a)cos(kx_0)}{\sqrt(a)} $
poi mi viene chiesto di trovare
$ tilde(\psi)(k,t)=tilde(\psi)(k,0)e^((-ihk^2t)/(2m)) $
e ora arriva il problema.
Mi chiedono di trovare
$ \psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt(2\pi)}int_(-infty)^(infty) dke^(ikx)\tilde(\psi)(k,t) $ .
La mia domanda é:
Per fare questo integrale devo esplicitare $ \tilde(\psi)(k,t) $ e quindi scrivere un integrale del tipo
$ \psi(x,t)=\frac{2N}{\sqrt(2\pi)}int_(-infty)^(infty)e^(ikx)e^(k^2/2a)e^(-(ihk^2t)/(2m))cos(kx_0)dk $ che mi fa venire la morte solo a vederlo, oppure c'è un qualche altro modo?
Pensavo oppure di considerare il fatto che $ tilde(\psi)(x,t)=1/\sqrt(\2pi)int_(-infty)^(infty) dke^(ikx) tilde(\psi)(x,0)e^((ihk^2t)/(2m))=\psi(x,0)e^((ihk^2t)/(2m)) $
Non saprei bene come procedere... mi aiutereste?
Grazie
Ho un problema nella risoluzione di questo integrale... tendo ad incartarmi un pochetto.
Spiego prima come sono arrivata all'integrale:
Inizialmente mi è stata data la seguente funzione d'onda $ \psi(x,0)=N[e^(-a(x-x_0)^2/2)+e^(-a(x+x_0)^2/2)], a,x_0\inR $ e mi viene chiesto di trovare, dopo aver trovato la costante N di normalizzazione, la funzione d'onda nello spazio dei vettori l'onda k, quindi
$ tilde(\psi)(k,0)=\frac{1}{\sqrt(2\pi)}int_(-infty)^(infty) e^(-ikx)\psi(x,0) dx =\frac{2Ne^(-k^2/2a)cos(kx_0)}{\sqrt(a)} $
poi mi viene chiesto di trovare
$ tilde(\psi)(k,t)=tilde(\psi)(k,0)e^((-ihk^2t)/(2m)) $
e ora arriva il problema.
Mi chiedono di trovare
$ \psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt(2\pi)}int_(-infty)^(infty) dke^(ikx)\tilde(\psi)(k,t) $ .
La mia domanda é:
Per fare questo integrale devo esplicitare $ \tilde(\psi)(k,t) $ e quindi scrivere un integrale del tipo
$ \psi(x,t)=\frac{2N}{\sqrt(2\pi)}int_(-infty)^(infty)e^(ikx)e^(k^2/2a)e^(-(ihk^2t)/(2m))cos(kx_0)dk $ che mi fa venire la morte solo a vederlo, oppure c'è un qualche altro modo?
Pensavo oppure di considerare il fatto che $ tilde(\psi)(x,t)=1/\sqrt(\2pi)int_(-infty)^(infty) dke^(ikx) tilde(\psi)(x,0)e^((ihk^2t)/(2m))=\psi(x,0)e^((ihk^2t)/(2m)) $
Non saprei bene come procedere... mi aiutereste?
Grazie
Risposte
Non so come aiutarti,ma ti consiglio di ri-postare,in analisi superiore,perché la trasformata di Fourier è un argomento avanzato.
[xdom="Seneca"]Sposto il thread in Analisi Superiore.[/xdom]
Pardon, non sapevo che andasse in Analisi Superiore
Grazie per l'avviso
Grazie per l'avviso
Ciao Nattramn16,
Capisco perfettamente, ma se lo rielabori un po' è meno "mortale" di quello che sembra...
Innanzitutto sostituirei $cos(kx_0) = frac{1}{2}(e^{ikx_0} + e^{-ikx_0})$. Poi, osservando che l'integrale è rispetto a $k$ (quindi $t$ figura come una costante) e c'è un errore perché è $e^{-frac{a}{2}k^2}$, dopo qualche elaborazione dovresti riuscire a ricondurti ad un integrale del tipo
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha k^2 + i\beta k} dk $
che converge se $Re[\alpha] > 0$ e si ha:
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha k^2 + i\beta k} dk = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\ e^{- \frac{\beta^2}{4\alpha}$
"Nattramn16":
che mi fa venire la morte solo a vederlo
Capisco perfettamente, ma se lo rielabori un po' è meno "mortale" di quello che sembra...
Innanzitutto sostituirei $cos(kx_0) = frac{1}{2}(e^{ikx_0} + e^{-ikx_0})$. Poi, osservando che l'integrale è rispetto a $k$ (quindi $t$ figura come una costante) e c'è un errore perché è $e^{-frac{a}{2}k^2}$, dopo qualche elaborazione dovresti riuscire a ricondurti ad un integrale del tipo
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha k^2 + i\beta k} dk $
che converge se $Re[\alpha] > 0$ e si ha:
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha k^2 + i\beta k} dk = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\ e^{- \frac{\beta^2}{4\alpha}$
pilloeffe sei il mio salvatore 
Ora provo a fare come dici e vedo.
Ma quindi la mia seconda ipotesi di procedimento è errata? Se sì, potresti spiegarmi dove sta l'errore?
Grazie mille
Ora provo a fare come dici e vedo.
Ma quindi la mia seconda ipotesi di procedimento è errata? Se sì, potresti spiegarmi dove sta l'errore?
Grazie mille
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