Trasformata di Fourier

[kipliko]

$ Y(omega) = ((Sen(2 omega/2))/(2 omega/2))*2e^(i2Pi omega/2) $Buongiorno a tutti,
è da questa mattina che combatto con un esercizio e non so come uscirne.
Chiedo quindi aiuto a voi.

Il testo dice:
Determinare la trasformata di Fourier della seguente funzione:
$x(t) = Rect_2(2t − 1)$

Io ho eseguito la traslazione prima:
$Z(f) = F[Rect_2(t)]*e^(i2Pif)$
$Z(f) = 2$Sinc$(2f)*e^(i2Pif)$
$Z(f) = 2((Sen(2Pif))/(2Pif))*2e^(i2Pif)$

Poi il cambio di scala:
$Y(omega) = 1/2 Z(omega/2)$
$Y(omega) = ((Sen(2*Pi*omega/2))/(2*Pi*omega/2))*2e^(i2Pi omega/2)$
$Y(omega) = ((Sen(Pi*omega))/(Pi*omega))*2e^(iPi omega)$

Quindi:
$Y(omega) = Sen(Pi*omega)*2*e^(iPi omega)/(Pi*omega)$

Il fatto è che il risultato dell'esercizio dovrebbe essere:
$Y(omega) = Sen(omega/2)*2*e^(i*omega/2)/omega$

Ed inoltre non mi è chiaro perché a me viene $e^(i2Pif)$ nella prima parte mentre dovrebbe essere $e^(-i2Pif)$.
Io pensavo che durante la traslazione $v(t-t_0) = V(t)*e^(-j2Pi(t_0)f)$ che essendo $t_0 = -1$ porta ad avere $e^(i2Pif)$

Grazie mille a chiunque possa rispondere.

Un saluto

Paolo

[anonymous_0b37e9]

Premesso che non ho ben compreso che cosa tu intenda quando scrivi:

$[x(t)=Rect_2(2t − 1)]$

utilizzando la seguente notazione:

$F(\omega)=\int_{-oo}^{+oo}e^(i\omegat)f(t)dt$

supponendo che:

$[x(t)=1] harr [0 lt t lt 1]$

(ottenuto ponendo $[-1 lt 2t-1 lt 1]$, probabilmente il pedice 2 sta a significare che l'argomento della funzione rettangolo è compreso tra -1 e 1 piuttosto che tra -1/2 e 1/2) e calcolando la trasformata esplicitamente:

$F(\omega)=\int_{0}^{1}e^(i\omegat)dt=2sin(\omega/2)e^(i\omega/2)/\omega$

ottieni il risultato corretto. Se vuoi procedere non esplicitamente sarebbe meglio chiarire.

[gugo82]

Innanzitutto, quale convenzione adotti?
Insomma, mi pare di capire che per te la trasformata di Fourier sia definita con la frequenza ordinaria, i.e. con l'uguaglianza:
\[
Z(f) := \int_{-\infty}^{+\infty} z(t) e^{-\mathbf{i}\ 2\pi\ f\ t}\ \text{d}t\;\ldots
\]
Ho capito bene?

Nel caso, sfruttando le proprietà di traslazione e riscalamento, hai:
\[
\begin{split}
Z(f) &= \mathcal{F}[\operatorname{Rect}_2(2t-1)](f)\\
&= \mathcal{F}[\operatorname{Rect}_2(2t)](f)\ e^{-\mathbf{i}\ 2\pi\ f}\\
&= \frac{1}{2}\ \mathcal{F}[\operatorname{Rect}_2(t)](f/2)\ e^{-\mathbf{i}\ 2\pi\ f}\; ;
\end{split}
\]
per continuare, dovrei capire come è definito \(\operatorname{Rect}_2(t)\), perché non capisco la notazione.

[dan952]

Si tratta della funzione rettangolo
$\text{Rect}(t)={(1\ |t|<1/2),(1/2\ |t|=1/2),(0\ \text{altrimenti}):}$

Ora è noto che $\mathcal{F}[\text{Rect}(t)](\omega)=int_{-\infty}^{+\infty}\text{Rect}(t)e^{-i\omega t}dt=\frac{sin(\frac{\omega}{2})}{\frac{\omega}{2}}$, quindi (sostituendo $2t-1 \mapsto u$ si ha
$\mathcal{F}[\text{Rect}(2x-1)](\omega)=int_{-\infty}^{+\infty}\text{Rect}(2t-1)e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\text{Rect}(u)e^{-i\frac{\omega}{2} (u+1)}du=\frac{e^{-i\frac{\omega}{2})}{2}\mathcal{F}[Rect(x)](\omega/2)=2e^{-i\frac{omega}{2}}\frac{\sin(\omega/4)}{\omega}$

[anonymous_0b37e9]

Se la mia interpretazione è corretta, basta traslare di 1/2 verso destra:

$[x_1(t)=1] ^^ [-1/2 lt t lt 1/2] rarr [F_1(\omega)=2/\omegasin(\omega/2)]$

$[x_2(t)=1] ^^ [0 lt t lt 1] rarr [F_2(\omega)=e^(i\omega/2)F_1(\omega)=2sin(\omega/2)e^(i\omega/2)/\omega]$