Topologia: Separabilità e Numerabilità della dimensione (di uno spazio)

[tiz97]

Salve a tutti, amici
(spero di non aver sbagliato sezione, è il mio primo post).

Nell'Analisi infinito-dimensionale, trovo spesso questa definizione (operativa?) di "separabilità di uno spazio":

Def.1 uno spazio vettoriale è separabile se e solo se le sue basi complete siano tuttalpiù numerabili.

Invece, approfondendo dal Prodi1 (santa anima) un poco di Topologia, avevo letto riguardo agli spazi "separabili (alla Hausdorff)"

Def.2 uno spazio si dice separabile se, presi due elementi qualsiasi x, y diversi tra loro (x!=y), esiste sempre un intorno di uno che non contenga l'altro. Ovvero, \(\displaystyle \exists U_x t.c. \) y non appartiene ad \(\displaystyle U_x \)

Ora, suppongo che le definizioni siano equivalenti; Def1 => Def2 mi sembra ovvio, ma come si fa invece il passaggio Def2 => Def1 ? Mi manca forse qualche tassello?

[dissonance]

Uno "spazio vettoriale" non ha una topologia, a meno che tu non gliene metta su una. Quindi la "Def. 1" è priva di senso.

[gugo82]

@ dissonance: Stavo rispondendo la stessa cosa... Tuttavia, il fatto che si parli di "basi complete" mi fa propendere verso il fatto che si stia considerando uno spazio vettoriale normato.

[tiz97]

"gugo82":@ dissonance: Stavo rispondendo la stessa cosa... Tuttavia, il fatto che si parli di "basi complete" mi fa propendere verso il fatto che si stia considerando uno spazio vettoriale normato.

Avete entrambi ragione. In effetti riguardando gli appunti si parlava di spazi di Banach (se non addirittura di Hilbert).
Dunque, immagino che si parli di topologia separabile nel senso che le "successioni di vettori costruibili per approssimazioni successive" (ovvero le somme di Fourier) separino tra di loro vettori diversi dello spazio. Ma come può essere ciò legato alla non numerabilità della base?