Teorema mappa aperta

[Lorz1]

Ciao a tutti, apro un altro thread con un quesito riguardante teorema della mappa aperta e corollari. Consideriamo due spazi di Banach $X$ e $Y$, ed un operatore lineare limitato $T:X rarr Y$. Si provi l'equivalenza delle seguenti affermazioni:
$\text{i) }T \text{ e' una mappa aperta di X su } T(X)$
$\text{ii)}EE M>0:AAyinT(X)$ $EEx in T^{-1}(y): norm(x)<= Mnorm(y)$
$\text{iii)}EE K>0:norm(x+ker(T))<=Knorm(Tx)$ $AAx inX$

L'implicazione $(i) rArr (ii)$ è una diretta conseguenza del fatto che le applicazioni aperte portano intorni dello zero in intorni dello zero. Per quanto riguarda $(ii) rArr (iii)$ pensavo di poter dedurre che l'operatore T fosse limitato inferiormente (e quindi fosse un isomorfismo continuo con inversa continua, in particolare iniettivo e lavorando un po' con l'aiuto del Teorema di omomorfismo per spazi di Banach si riesce a concludere) tuttavia il compito non è così semplice, anzi in generale mi verrebbe da dire che T potrebbe tranquillamente non essere limitato inferiormente, che strada prendere allora?
Infine l' implicazione $(iii) rArr (i)$ è forse la più insidiosa. Se chiamo $tilde(T): X/{ker(T)} rarrT(X)$ l' operatore tale che $T(x)=tilde(T)(pi(x)) AAx in X$, dove $pi$ è la proiezione canonica sul quoziente, ottengo il fatto che la funzione $tilde(T)^{-1}$ è continua e quindi $tilde(T)$ è un isomorfismo topologico (si ricava ciò lavorando con la disuguaglianza in $(iii)$. Posso concludere che T è aperta? Ringrazio chiunque voglia aiutarmi

[dissonance]

Tutto vero, ma sostanzialmente non hai ancora fatto niente, il fatto che la (iii) equivalga a dire che \(\tilde T\) ha l'inversa continua è ovvio.

[Lorz1]

Ok penso di aver risolto provando che $(i) rArr (iii) rArr (ii) rArr (i)$.
L'implicazione $(ii) rArr (i)$ mi sembra corretta ma illustro il mio ragionamento per conferma.

So che un'applicazione lineare fra spazi normati è aperta se e solo se porta intorni dello zero in intorni dello zero. Quindi mi basta provare che $EE r,s>0:$ $ rB_{T(X)}subT(sB_{X})$ dove indico con $B_I$ la palla unitaria aperta dello spazio normato $I$ e considero ovviamente $T(X)$ come sottospazio normato di $Y$.
Dunque sia $y in rB_{T(X)}$. Allora $norm(y)0 :$ $norm(x)<=Mnorm(y)

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