Teorema funzione olomorfa e costante ?
Salve a tutti, ho una difficoltà a comprendere due ipotesi del libro. Il teorema è questo :
"Sia f olomorfa nell'aperto connesso A. La funzione f risulta costante in ciascuna delle seguenti ipotesi :
-f reale
-f immaginaria
-|f| costante
-arg f è costante
Allora le prime due ipotesi mi sono chiare, il problema lo ho nella terza e quarta. La dimostrazione del libro per la terza è la seguente:
Sapendo che $ f=u+jv $ e che $ u^2+v^2=k $ con k costante e maggiore di zero deriviamo quest'ultima equazione rispetto a x e y, ottenendo il seguente sistema :
$ { ( u*ux+v*vx=0 ),( u*uy+v*vy=0 ):} $
Poi dice che il sistema può essere interpretato nelle due incognite $ u(x,y) $ ed $ v(x,y) $ il cui determinante dei coefficienti è :
$ | ( ux , uy ),( vx , vy ) | $
A questo punto dice che essendo $ |f(z)|>0 $ il sistema ha una soluzione non banale e il determinante è nullo, quindi sono nulle in ogni punto di A le derivate delle funzione u e v, che dunque risultano costanti.
E qui non capisco la tesi come la ricava. In particolare perchè il sistema ha una soluzione non banale sapendo solo $ |f(z)|>0 $? E come fa a dire che il determinante è nullo?
Grazie mille in anticipo.
"Sia f olomorfa nell'aperto connesso A. La funzione f risulta costante in ciascuna delle seguenti ipotesi :
-f reale
-f immaginaria
-|f| costante
-arg f è costante
Allora le prime due ipotesi mi sono chiare, il problema lo ho nella terza e quarta. La dimostrazione del libro per la terza è la seguente:
Sapendo che $ f=u+jv $ e che $ u^2+v^2=k $ con k costante e maggiore di zero deriviamo quest'ultima equazione rispetto a x e y, ottenendo il seguente sistema :
$ { ( u*ux+v*vx=0 ),( u*uy+v*vy=0 ):} $
Poi dice che il sistema può essere interpretato nelle due incognite $ u(x,y) $ ed $ v(x,y) $ il cui determinante dei coefficienti è :
$ | ( ux , uy ),( vx , vy ) | $
A questo punto dice che essendo $ |f(z)|>0 $ il sistema ha una soluzione non banale e il determinante è nullo, quindi sono nulle in ogni punto di A le derivate delle funzione u e v, che dunque risultano costanti.
E qui non capisco la tesi come la ricava. In particolare perchè il sistema ha una soluzione non banale sapendo solo $ |f(z)|>0 $? E come fa a dire che il determinante è nullo?
Grazie mille in anticipo.
Risposte
Ciao, riscrivo un po' meglio il sistema (per le derivate parziali si usa il pedice).
Questo sistema (chiamiamolo "star") vale per ogni valore di $x+jy in A$. (Dove si intende che le derivate parziali sono valutate in $(x,y)$).
Ora siccome esiste $x_0+jy_0 in A$ tale che $|f(x_0+jy_0)|>0$ (altrimenti la $f$ sarebbe identicamente nulla e quindi costante), abbiamo che $f(x_0+jy_0) = u(x_0,y_0)+jv(x_0,y_0)$ è diverso da zero, cioè almeno uno tra $u_0=u(x_0,y_0)$ e $v_0=v(x_0,y_0)$ è diverso da zero.
La coppia $(u_0,v_0)$ è quindi una soluzione non nulla del sistema lineare "star" nel punto $(x_0,y_0)$, che quindi ha determinante nullo.
"Omi":
$ { ( u*u_x+v*v_x=0 ),( u*u_y+v*v_y=0 ):} $
Questo sistema (chiamiamolo "star") vale per ogni valore di $x+jy in A$. (Dove si intende che le derivate parziali sono valutate in $(x,y)$).
Ora siccome esiste $x_0+jy_0 in A$ tale che $|f(x_0+jy_0)|>0$ (altrimenti la $f$ sarebbe identicamente nulla e quindi costante), abbiamo che $f(x_0+jy_0) = u(x_0,y_0)+jv(x_0,y_0)$ è diverso da zero, cioè almeno uno tra $u_0=u(x_0,y_0)$ e $v_0=v(x_0,y_0)$ è diverso da zero.
La coppia $(u_0,v_0)$ è quindi una soluzione non nulla del sistema lineare "star" nel punto $(x_0,y_0)$, che quindi ha determinante nullo.
In realtà quanto ho scritto vale per ogni $x+jy in A$ (e non solo per $x_0+jy_0$) perché appunto l'ipotesi è che $|f(x+jy)|$ è costante.
Grazie per la risposta e la correzione ai pedici Martino. Però continuo a non capire come fa a dire che quella coppia sia una soluzione non nulla del sistema... cioè non capisco come fa ad arrivare dall'implicazione
$ u_0=u(x_0,y_0) $ o $ v_0=v(x_0,y_0) $ diverso da zero ----> $ (u_0,v_0) $ soluzione non banale del sistema.
$ u_0=u(x_0,y_0) $ o $ v_0=v(x_0,y_0) $ diverso da zero ----> $ (u_0,v_0) $ soluzione non banale del sistema.
Il punto, detto in modo impreciso e in poche parole, non è trovare una soluzione, il punto è trovarne una non banale.
Mi spiego meglio.
Questo sistema è valido per ogni $x+jy in A$, ci sei su questo? In altre parole, scrivendolo meglio, per ogni $x_0+jy_0 in A$ abbiamo che
(U1) $u(x_0,y_0) * u_x(x_0,y_0) + v(x_0,y_0) * v_x(x_0,y_0) = 0$
(U2) $u(x_0,y_0) * u_y(x_0,y_0) + v(x_0,y_0) * v_y(x_0,y_0) = 0$
Ci sei su questo?
Ora quindi capisci che il problema non è trovare coppie $(x_0,y_0)$ (con $x_0+jy_0 in A$) che soddisfano (U1) e (U2), perché già sappiamo che tutte le coppie lo soddisfano.
Il problema è trovare tali coppie $(x_0,y_0)$ in modo tale che $(u(x_0,y_0),v(x_0,y_0)) ne (0,0)$, cioè trovarne che danno luogo a soluzioni non banali.
Insomma l'implicazione rilevante non è "$|f|$ maggiore di zero implica che $(u_0,v_0)$ è soluzione", l'implicazione rilevante è "$|f|$ maggiore di zero implica che $(u_0,v_0)$ è non banale".
Mi spiego meglio.
"Omi":
$ { ( u*ux+v*vx=0 ),( u*uy+v*vy=0 ):} $
Questo sistema è valido per ogni $x+jy in A$, ci sei su questo? In altre parole, scrivendolo meglio, per ogni $x_0+jy_0 in A$ abbiamo che
(U1) $u(x_0,y_0) * u_x(x_0,y_0) + v(x_0,y_0) * v_x(x_0,y_0) = 0$
(U2) $u(x_0,y_0) * u_y(x_0,y_0) + v(x_0,y_0) * v_y(x_0,y_0) = 0$
Ci sei su questo?
Ora quindi capisci che il problema non è trovare coppie $(x_0,y_0)$ (con $x_0+jy_0 in A$) che soddisfano (U1) e (U2), perché già sappiamo che tutte le coppie lo soddisfano.
Il problema è trovare tali coppie $(x_0,y_0)$ in modo tale che $(u(x_0,y_0),v(x_0,y_0)) ne (0,0)$, cioè trovarne che danno luogo a soluzioni non banali.
Insomma l'implicazione rilevante non è "$|f|$ maggiore di zero implica che $(u_0,v_0)$ è soluzione", l'implicazione rilevante è "$|f|$ maggiore di zero implica che $(u_0,v_0)$ è non banale".
Ok adesso mi è più chiaro. Però poi dice, essendo che il sistema è non banale il determinante dei coefficienti è nullo (per Cramer suppongo) e fin qui mi trovo. Non mi trovo dopo quando dice che essendo il determinante dei coefficienti nullo allora sono nulle in ogni punto di A le derivate delle funzione u e v. Come fa a ricavare questa tesi?
"Omi":Conosci le equazioni di Cauchy-Riemann?
Non mi trovo dopo quando dice che essendo il determinante dei coefficienti nullo allora sono nulle in ogni punto di A le derivate delle funzione u e v. Come fa a ricavare questa tesi?
Sisi le conosco. Quindi poichè il determinante è nullo ---> derivate di u e v nulle ---> u e v nulle per Couchy - Riemann, è corretto?
No... pensaci meglio
In generale, vale un po' di più:
La dimostrazione è un'immediata generalizzazione di quella che stai costruendo.
Se \(f\) è olomorfa in $Omega subseteq CC$ connesso e se esiste una funzione "liscia" $Phi: RR^2 -> RR$ tale che:
[*:1da1qcyt] $nabla Phi != mathbf(0)$ in $RR^2$ e
[/*:m:1da1qcyt]
[*:1da1qcyt] $Phi ("Re" f, "Im" f) = 0$ in $Omega$,[/*:m:1da1qcyt][/list:u:1da1qcyt]
allora $f$ è nulla in $Omega$.
La dimostrazione è un'immediata generalizzazione di quella che stai costruendo.
Noi le funzioni lisce non le abbiamo proprio accennate, nemmeno nei corsi di analisi II...però dov'è che sbaglio nelle implicazioni?
"Omi":Come lo dimostri?
poichè il determinante è nullo ---> derivate di u e v nulle
Io ho pensato erroneamente che essendo il determinante $ u_x*v_y-u_y*v_x=0 $ allora le derivate fossero nulle. Ma effettivamente ora che ci penso non è così. A questo punto non ho idea di come si possa giungere a questa conclusione..sono sincero.
Usando le equazioni di Cauchy-Riemann.
Martino perdonami se ti rompo le scatole ma le equazioni di Cauchy-Riemann dovrebbero essere che :
$ (Df)/(dx)=(Df)/(jdy) $
Come potrebbero aiutarmi a dimostrare che le derivate sono nulle?
$ (Df)/(dx)=(Df)/(jdy) $
Come potrebbero aiutarmi a dimostrare che le derivate sono nulle?
Se scrivi
$f(x+jy) = u(x,y)+jv(x,y)$
allora le equazioni di Cauchy-Riemann si possono scrivere nella seguente forma (si tratta di una cosa classicissima e ben nota, ma una spiegazione coi conti la trovi qui):
$u_x = v_y$
$u_y = -v_x$
Usando questa riformulazione riesci a concludere?
$f(x+jy) = u(x,y)+jv(x,y)$
allora le equazioni di Cauchy-Riemann si possono scrivere nella seguente forma (si tratta di una cosa classicissima e ben nota, ma una spiegazione coi conti la trovi qui):
$u_x = v_y$
$u_y = -v_x$
Usando questa riformulazione riesci a concludere?
Ok, ci provo, ma non garantisco nulla xD .
Sostituendo $ u_y=-v_x $ ed $ u_x=v_y $ nell'equazione $ u_x*v_y-u_y*v_x=0 $ ottengo che
$ u_x^2+v_x^2=0 $ ed essendo $ u_x $ e $ v_x $ entrambi positivi perchè elevati al quadrato, allora l'unica soluzione affinchè il determinante sia nullo è che entrambe le derivate rispetto a x siano nulle. Reitero il processo per le derivate rispetto a y. Io ho fatto questo ragionamento, ma non so se vada bene, puoi confermare?
Sostituendo $ u_y=-v_x $ ed $ u_x=v_y $ nell'equazione $ u_x*v_y-u_y*v_x=0 $ ottengo che
$ u_x^2+v_x^2=0 $ ed essendo $ u_x $ e $ v_x $ entrambi positivi perchè elevati al quadrato, allora l'unica soluzione affinchè il determinante sia nullo è che entrambe le derivate rispetto a x siano nulle. Reitero il processo per le derivate rispetto a y. Io ho fatto questo ragionamento, ma non so se vada bene, puoi confermare?
Sì è giusto ma va scritto meglio, in particolare devi dire che stai usando il fatto che $u$ e $v$ sono funzioni a valori reali. Comunque sì questo conclude la dimostrazione.
Ti ringrazio Martino, sei stato gentilissimo, grazie per la pazienza.
Prego!
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