Teorema di Stokes generalizzato
Spero di non aver sbagliato sezione, sto studiando questa dimostrazione:
https://www.planetmath.org/ProofOfGeneralStokesTheorem
ed ho un dubbio già nello 'Step One', verso la fine. Credo sia una cosa banale ma proprio non ci arrivo, si tratta del passaggio in cui afferma che la forma differenziale \(\displaystyle \omega \) ristretta al bordo \(\displaystyle x^1=1 \) dell'ipercubo è nulla ogni volta che è presente anche \(\displaystyle \mathrm{d}x^1 \) tra i vari \(\displaystyle \mathrm{d}x^i \).
Per quale motivo? I vettori dello spazio tangente (all'ipercubo nei suoi punti di bordo) su cui opera \(\displaystyle \omega \) mica devono per forza avere sempre proiezione nulla lungo \(\displaystyle x^1 \)?
https://www.planetmath.org/ProofOfGeneralStokesTheorem
ed ho un dubbio già nello 'Step One', verso la fine. Credo sia una cosa banale ma proprio non ci arrivo, si tratta del passaggio in cui afferma che la forma differenziale \(\displaystyle \omega \) ristretta al bordo \(\displaystyle x^1=1 \) dell'ipercubo è nulla ogni volta che è presente anche \(\displaystyle \mathrm{d}x^1 \) tra i vari \(\displaystyle \mathrm{d}x^i \).
Per quale motivo? I vettori dello spazio tangente (all'ipercubo nei suoi punti di bordo) su cui opera \(\displaystyle \omega \) mica devono per forza avere sempre proiezione nulla lungo \(\displaystyle x^1 \)?
Risposte
Basta scrivere \(i^*\omega\) e il modo in cui dipende dalla prima coordinata; un fisico ti direbbe che restringendosi al(la parte di) bordo dove \(x^1=1\), tutti i termini di \(\omega\) dove compare \(x^1\) sono zero, perché se \(x^1=1\) allora \(dx^1=d1=0\)...
"fulcanelli":
un fisico ti direbbe che restringendosi al(la parte di) bordo dove \(x^1=1\), tutti i termini di \(\omega\) dove compare \(x^1\) sono zero, perché se \(x^1=1\) allora \(dx^1=d1=0\)...
Più o meno lo direbbe chiunque, non solo un fisico...
Persino un fisico segna l'ora giusta due volte al giorno!
[ot]
Modo di dire talmente abusato che è arrivato persino alle orecchie di chi non si occupa di orologi, ma di carpenteria tradizionale giapponese...[/ot]
"fulcanelli":
Persino un fisico segna l'ora giusta due volte al giorno!
Modo di dire talmente abusato che è arrivato persino alle orecchie di chi non si occupa di orologi, ma di carpenteria tradizionale giapponese...
[/ot]
[ot]Dimmi pure[/ot] 
"fulcanelli":
Basta scrivere i∗ω e il modo in cui dipende dalla prima coordinata
Prendiamo per esempio il caso in cui manca \(\displaystyle \mathrm{d}x^n \). Avremmo che \(\displaystyle \omega \) ristretta al bordo si scrive come:
\(\displaystyle \omega(x)(\mathbf{\tau}_1,...,\mathbf{\tau}_{n-1}) = f(1,x^2,...,x^n) \cdot \mathrm{d}x^1 \wedge ...\wedge \mathrm{d}x^{n-1}(\mathbf{\tau}_1,...,\mathbf{\tau}_{n-1}) = \)
\(\displaystyle =f(1,x^2,...,x^n) \cdot \begin{vmatrix}
\tau_1^1 & \tau_1^2 & ... & \tau_1^{n-1}\\
\tau_2^1 & \tau_2^2 & ... & \tau_2^{n-1} \\
...& ... & ....&...\\
\tau_{n-1}^1 & \tau_{n-1}^2 & ... & \tau_{n-1}^{n-1}
\end{vmatrix} \)
I vari \(\displaystyle \tau_j^1 \) perché devono essere per forza 0? E' vero che siamo sul bordo, ma lo spazio tangente in quei punti prevede vettori con componenti anche lungo la prima coordinata, perché le derivate parziali rispetto ad essa esistono, seppur 'one sided'.
Perdonatemi se ancora non capisco.
Si ha che \(M = (0,1] \times (0,1)^{n-1} \cong \mathbb{H}_1 = \{ \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n \colon x^1 \ge 0 \}\) e \(\omega\) ha supporto compatto in \(M\). Siccome \(M\) non è compatto, \(\omega\) si annulla su tutti i bordi tranne uno: \(D^1 = \{1\}\times (0,1)^{n-1}\). Su quel bordo \(x^1\) è una funzione costante e quindi \(dx^1 = 0\). In altre parole, quando integri su \(D^1\), ogni forma che contenga \(dx^1\) si annulla automaticamente.
Grazie.
Volevo chiedere un'altra cosa, ancora su questo tema, evito di aprire una nuova discussione.
Tenendo come riferimento sempre la dimostrazione che si trova al link del primo messaggio, ora (grazie al vostro aiuto) mi è chiara fino allo step 3 incluso.
Allo step 4, quando generalizza i risultati ottenuti a superfici che non siano dei semplici ipercubi, lo fa passando attraverso una 'partition of unity', che mi sembra di capire sia proprio la sua definizione di integrale di una m-forma differenziale su una m-superficie descritta da più carte.
La definizione che avevo studiato io era invece la seguente: \(\displaystyle \int_S \omega := \sum_j \int_{S_j} \omega \) dove le superfici \(\displaystyle S_j \) (che unite danno \(\displaystyle S \)) sono disgiunte a meno di un insieme di punti a m-misura nulla.
Avevo tentato allora di dimostrare il punto 4 in modo alternativo a quello proposto, partendo dalla definizione che conoscevo io, dicendo che...
se \(\displaystyle S \) è descritta dall'atlante orientante \(\displaystyle \mathcal{A}=\{\phi_i,U_i\}_i \), allora essendo \(\displaystyle \omega \) (e quindi anche \(\displaystyle d\omega \)) a supporto compatto su \(\displaystyle S \) posso estrarre da \(\displaystyle \{U_i\}_i \) un sottoinsieme finito che ricopra \(\displaystyle \text{supp} \;\omega \), decomporlo in insiemi disgiunti (a meno di roba a misura nulla) prendendo tutte le intersezioni mutue e su tale decomposizione applicare la mia definizione per \(\displaystyle \int_S d\omega \).
La dimostrazione da qui in poi è meccanica e tutta in discesa.
Mi sono però reso conto che non è così automatico usare la compattezza di \(\displaystyle \text{supp} \;\omega \) per poter estrarre un insieme finito di \(\displaystyle \{U_i\}_i \), in quanto questi non sono una famiglia di aperti, poiché la superficie è con bordo. Non so se la cosa si può comunque aggiustare in qualche modo che ora non vedo.
L'altra domanda è a questo punto: le due definizioni di \(\displaystyle \int_S d\omega \) (la mia che vuole sotto-superfici disgiunte e la sua che usa partizioni dell'unità) sono equivalenti? Ad oggi non riesco bene a vederlo. Nel caso, che idea si potrebbe seguire per impostare una dimostrazione?
Grazie in anticipo per qualunque dritta.
Tenendo come riferimento sempre la dimostrazione che si trova al link del primo messaggio, ora (grazie al vostro aiuto) mi è chiara fino allo step 3 incluso.
Allo step 4, quando generalizza i risultati ottenuti a superfici che non siano dei semplici ipercubi, lo fa passando attraverso una 'partition of unity', che mi sembra di capire sia proprio la sua definizione di integrale di una m-forma differenziale su una m-superficie descritta da più carte.
La definizione che avevo studiato io era invece la seguente: \(\displaystyle \int_S \omega := \sum_j \int_{S_j} \omega \) dove le superfici \(\displaystyle S_j \) (che unite danno \(\displaystyle S \)) sono disgiunte a meno di un insieme di punti a m-misura nulla.
Avevo tentato allora di dimostrare il punto 4 in modo alternativo a quello proposto, partendo dalla definizione che conoscevo io, dicendo che...
se \(\displaystyle S \) è descritta dall'atlante orientante \(\displaystyle \mathcal{A}=\{\phi_i,U_i\}_i \), allora essendo \(\displaystyle \omega \) (e quindi anche \(\displaystyle d\omega \)) a supporto compatto su \(\displaystyle S \) posso estrarre da \(\displaystyle \{U_i\}_i \) un sottoinsieme finito che ricopra \(\displaystyle \text{supp} \;\omega \), decomporlo in insiemi disgiunti (a meno di roba a misura nulla) prendendo tutte le intersezioni mutue e su tale decomposizione applicare la mia definizione per \(\displaystyle \int_S d\omega \).
La dimostrazione da qui in poi è meccanica e tutta in discesa.
Mi sono però reso conto che non è così automatico usare la compattezza di \(\displaystyle \text{supp} \;\omega \) per poter estrarre un insieme finito di \(\displaystyle \{U_i\}_i \), in quanto questi non sono una famiglia di aperti, poiché la superficie è con bordo. Non so se la cosa si può comunque aggiustare in qualche modo che ora non vedo.
L'altra domanda è a questo punto: le due definizioni di \(\displaystyle \int_S d\omega \) (la mia che vuole sotto-superfici disgiunte e la sua che usa partizioni dell'unità) sono equivalenti? Ad oggi non riesco bene a vederlo. Nel caso, che idea si potrebbe seguire per impostare una dimostrazione?
Grazie in anticipo per qualunque dritta.
Non è una questione di definizione di integrale ma di partizione dell'unità.
Sia \(\mathbf{1}\colon S\to \mathbb{R}\) la funzione definita come \(s\mapsto 1\) e \(\{\alpha_i\}\) la partizione dell'unità subordinata al ricoprimento \(\{S_i\}\). Allora \(\mathbf{1} = \sum_i \alpha_i\). Inoltre \(\text{supp}\,\alpha_i \subset S_i\).
A questo punto \(\int_S \omega = \int_S \mathbf{1}\wedge \omega = \sum_i \int \alpha_i\wedge \omega \) (ho usato il prodotto esterno con la moltiplicazione per 1 per rendere il tutto più visibile, d'altra parte il prodotto con una \(0\)-forma è uguale al normale prodotto).
Ora, sia \(\omega_i = \alpha_i\wedge \omega\) allora \(\int_S\omega_i = \int_{S_i}\omega_i + \int_{S\setminus S_i}\omega_i = \int_{S_i}\omega_i\) perché \(\omega_i\) è nulla al di fuori di \(S_i\).
Sia \(\mathbf{1}\colon S\to \mathbb{R}\) la funzione definita come \(s\mapsto 1\) e \(\{\alpha_i\}\) la partizione dell'unità subordinata al ricoprimento \(\{S_i\}\). Allora \(\mathbf{1} = \sum_i \alpha_i\). Inoltre \(\text{supp}\,\alpha_i \subset S_i\).
A questo punto \(\int_S \omega = \int_S \mathbf{1}\wedge \omega = \sum_i \int \alpha_i\wedge \omega \) (ho usato il prodotto esterno con la moltiplicazione per 1 per rendere il tutto più visibile, d'altra parte il prodotto con una \(0\)-forma è uguale al normale prodotto).
Ora, sia \(\omega_i = \alpha_i\wedge \omega\) allora \(\int_S\omega_i = \int_{S_i}\omega_i + \int_{S\setminus S_i}\omega_i = \int_{S_i}\omega_i\) perché \(\omega_i\) è nulla al di fuori di \(S_i\).
Grazie, sto capendo un pò meglio ma ho ancora qualche dubbio, provo a dirlo.
Quest'ultima cosa che hai detto, cioè il fatto che posso scrivere tranquillamente che \( \int_S\omega_i = \int_{S_i}\omega_i + \int_{S\setminus S_i}\omega_i \) non va 'dimostrata'?
Nel senso, come faccio a dire a priori che l'integrale di una forma differenziale su una superficie è additivo, senza passare attraverso la definizione, che vuole per forza l'utilizzo delle funzioni di pullback?
E' sicuramente una domanda stupida, ma forse mi sto perdendo nella catena di definizioni.
"vict85":
Ora, sia \( \omega_i = \alpha_i\wedge \omega \) allora \( \int_S\omega_i = \int_{S_i}\omega_i + \int_{S\setminus S_i}\omega_i = \int_{S_i}\omega_i \) perché \( \omega_i \) è nulla al di fuori di \( S_i \).
Quest'ultima cosa che hai detto, cioè il fatto che posso scrivere tranquillamente che \( \int_S\omega_i = \int_{S_i}\omega_i + \int_{S\setminus S_i}\omega_i \) non va 'dimostrata'?
Nel senso, come faccio a dire a priori che l'integrale di una forma differenziale su una superficie è additivo, senza passare attraverso la definizione, che vuole per forza l'utilizzo delle funzioni di pullback?
E' sicuramente una domanda stupida, ma forse mi sto perdendo nella catena di definizioni.
Non vedo perché si debba dimostrare l'additività nella dimostrazione di Stokes: penso che la dimostrazione delle proprietà dell'integrale preceda il teorema di Stokes nei manuali.
Ok, allora mi sono perso io un pezzo.
Torno indietro, grazie per la tua disponibilità.
Torno indietro, grazie per la tua disponibilità.
Da che manuale stai studiando?
Per la gioia di Gugo82 (scherzo 
) dal secondo volume di Zorich, 'Mathematical Analysis II'.
) dal secondo volume di Zorich, 'Mathematical Analysis II'.
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