Teorema di Riesz

[anto_zoolander]

Ciao!

Ora mi sono potuto dedicare a questo teorema
[ot]ad oggi è uno tra i miei teoremi preferiti[/ot]

Sia $(H,<*,*>)$ uno spazio di Hilbert.
Per ogni $varphi in H^(star)$ esiste un unico $u in H$ per cui $varphi(*)=<>$
Inoltre $norm(phi)_(H^(star))=norm(u)_(H)$

$H^(star)$ è il duale “continuo”

dim

Sia sia $varphi in H^(star)$ e $M:=Ker(varphi)$
$M$ risulta un sottospazio chiuso poiché è la controimmagine del chiuso ${0_(RR)}$ ed è non vuoto.

- Se $M=H$ allora $varphi equiv 0_(H^(star))$ quindi basta prendere $u=0_(H)$

- Se $MneH$ allora posso considerare $overline(x) in HsetminusM$ e per il teorema di proiezione negli spazi di Hilbert $P_M(overline(x))$ è l’unico elemento di $M$ per cui $overline(x)-P_M(overline(x)) in M^(_|_)$ e in particolare è non nullo

Posso porre $z=(overline(x)-P_M(overline(x)))/norm(overline(x)-P_M(overline(x)))$

Essendo $varphi(varphi(x)z-varphi(z)x)=0$ si ha $<>=0$

Ovvero, esiste il vettore $u:=varphi(z)z$

$varphi(x)= <>$

Per concludere $norm(varphi)_(H^(star))=s u p_(xne0)abs(<>)leqnorm(u)$

Ed essendo $(abs(varphi(u)))/norm(u)=abs( <>) =norm(u)$ si ha la tesi

Penso di non aver lasciato nulla al caso.

[dissonance]

Hai pasticciato nella definizione di \(u\) (essendo...si ha...) c'è qualche refuso di sicuro, correggi per favore. E poi, dove sta l'unicità? Hai preso un \(\overline x\in H\setminus M\), devi dimostrare che se ne avessi preso un altro avresti trovato lo stesso \(u\). È facile ma lo devi dire.

[anto_zoolander]

Ho pasticciato nel primo trattino e ho corretto con $u$
Nel secondo trattino ho modificato in grassetto la parte in cui definisco $u$

Si ho dimenticato l'unicità;

Se esistesse un certo $u’ in H$ per cui $varphi(x)=<>$ si avrebbe $u’-u in H^(_|_)$ ma essendo i prodotti scalari privi di vettori isotropi deve essere necessariamente $H^(_|_)={0_(H)}$ e quindi $u’=u$

[dissonance]

Aspé Anto, non cominciare a farmi innervosire per favore che già fa caldo. Guarda qua, guarda:

"anto_zoolander":
Essendo $ varphi(varphi(x)z-varphi(z)x)=0 $ si ha $ <>=0 $

Ovvero, esiste il vettore $ u:=varphi(z)z $

Hai scritto una cavolata inutile ("esiste il vettore", ma dai), e non hai corretto questo:
$ <>=0. $
Grazie a Ciccillo che quello fa zero: hai scritto \(\langle 0, z\rangle =0\). Quella è l'equazione più importante di tutto il post, perché è da là che uno vede da dove esce \(\phi(x)=\langle u, x\rangle\), non la puoi scrivere malamente.

Comunque il resto va bene.

[anto_zoolander]

Non me ne sono per niente accorto; che vergogna

[dissonance]

Beh, vabbé, non c'è bisogno di vergognarsi. La dimostrazione va bene.

A me piace molto come questo teorema viene dimostrato sul libro "Analysis" di Lieb e Loss, non in ambito astratto ma concretamente, su \(L^p(\Omega)\). Con la stessa idea di questo post, infatti, si dimostra che \(L^{p'}\) è il duale di \(L^p\) per ogni \(p\in (1, \infty)\). Si tratta di sostituire il teorema delle proiezioni ortogonali con il teorema della proiezione sugli insiemi convessi e chiusi, ma per il resto è uguale.

[anto_zoolander]

Mi documento meglio aull’argomento del duale di $L^p$ allora

[gugo82]

@ anto_zoolander: Che riferimento usi per queste cosette base di Analisi Funzionale?

[anto_zoolander]

Dai non sono cosette; nemmeno dovrei farle

A parte gli scherzi

Il testo principale che uso è il cannarsa/d’aprile; introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale.
A questo accosto il folland e per gli approfondimenti ho iniziato ad usare il Brezis(grazie Giuseppe )

Ma è uno studio diciamo per “divertimento” perché devo studiare altro

[gugo82]

Brezis tutta la vita!

Però, se ti va, ci sono queste noticine del prof. Fiorenza cui vale la pena dare (anche più di) un’occhiata.

[anto_zoolander]

Le ho scaricate e domani gli do un’occhiata grazie
Riguardo al brezis mi sembra leggermente graduate infatti lo “sfoglio” con parsimonia