Teorema di olomorfia della trasformata di Laplace
Sia $x(t)$ trasformabile in $dom_L(x(t)) \Rightarrow X(s)$ è olomorfa in $dom_L(x(t))$ e $d/(ds) X(s) = L[-tx(t)]$
Dimostrazione
Voglio dimostrare che $d/(ds) \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt = \int_{-\infty}^{+\infty}-t\cdot x(t)e^{-st}dt = L[-tx(t)]$
Per cui faccio il limite del rapporto incrementale ottenendo
$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-(s+h)t}dt - \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt}{h}$
cioè
$\lim_{h\rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st} \frac{(e^{-ht}-1)}{h} dt $
moltiplico e divido per $-t$
$\lim_{h\rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st} \frac{(e^{-ht}-1)}{-th}(-t) dt $
Per semplicità indicherò da ora in avanti l'intera integranda come $g_h(t)$ e voglio dimostrare che quest'ultima è maggiorata da una funzione $g(t)$ sommabile.
Infatti se pongo $z = -th$ ottengo $| \frac{e^z-1}{z}| \le e^{|z|}$ ovvero, tornando alla $g_h(t)$
$|g_h(t)| \le e^{|h|t} \cdot e^{-\sigma t} \cdot |x(t)| \cdot t$ [size=85]per ogni $x(t)$ segnale (nullo per $t<0$)[/size]
Da ora in avanti non capisco diversi passaggi della dimostrazione
Il dominio della trasformata è $Re(s) > \sigma_0$ ascissa di convergenza (perché? chi è $\sigma_0$?)
$|h| < \delta < \frac{\sigma - \sigma_0}{2}$ e fissato $\delta$ posso dire che esiste una costante $C_{\delta}$ tale che $t \le C_{\delta} \cdot e^{\delta t}$
Cosa sta facendo? Perchè $\delta$ si trova tra $|h|$ e $\frac{\sigma - \sigma_0}{2}$? Perchè vale quell'ultima disuguaglianza?
Allora, tornando alla $g_h(t)$ si ha
$|g_h(t)| \le e^{|h|t} \cdot e^{-\sigma t} \cdot |x(t)| \cdot t \le e^{\delta t} \cdot e^{-\sigma t} \cdot C_{\delta}e^{\delta t} |x(t)| = |x(t)| \cdot C_{\delta} \cdot e^{-(\sigma - 2\delta)t} = g(t)$ sommabile!
Segue che la quantità nel limite $\frac{(e^{-ht}-1)}{-th}$ tende a $1$ e quindi rimane $\int_{-\infty}^{+\infty}-t \cdot x(t)e^{-st}dt$ e la tesi è verificata.
Grazie in anticipo a chi mi schiarirà le idee.
Dimostrazione
Voglio dimostrare che $d/(ds) \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt = \int_{-\infty}^{+\infty}-t\cdot x(t)e^{-st}dt = L[-tx(t)]$
Per cui faccio il limite del rapporto incrementale ottenendo
$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-(s+h)t}dt - \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt}{h}$
cioè
$\lim_{h\rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st} \frac{(e^{-ht}-1)}{h} dt $
moltiplico e divido per $-t$
$\lim_{h\rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st} \frac{(e^{-ht}-1)}{-th}(-t) dt $
Per semplicità indicherò da ora in avanti l'intera integranda come $g_h(t)$ e voglio dimostrare che quest'ultima è maggiorata da una funzione $g(t)$ sommabile.
Infatti se pongo $z = -th$ ottengo $| \frac{e^z-1}{z}| \le e^{|z|}$ ovvero, tornando alla $g_h(t)$
$|g_h(t)| \le e^{|h|t} \cdot e^{-\sigma t} \cdot |x(t)| \cdot t$ [size=85]per ogni $x(t)$ segnale (nullo per $t<0$)[/size]
Da ora in avanti non capisco diversi passaggi della dimostrazione
Il dominio della trasformata è $Re(s) > \sigma_0$ ascissa di convergenza (perché? chi è $\sigma_0$?)
$|h| < \delta < \frac{\sigma - \sigma_0}{2}$ e fissato $\delta$ posso dire che esiste una costante $C_{\delta}$ tale che $t \le C_{\delta} \cdot e^{\delta t}$
Cosa sta facendo? Perchè $\delta$ si trova tra $|h|$ e $\frac{\sigma - \sigma_0}{2}$? Perchè vale quell'ultima disuguaglianza?
Allora, tornando alla $g_h(t)$ si ha
$|g_h(t)| \le e^{|h|t} \cdot e^{-\sigma t} \cdot |x(t)| \cdot t \le e^{\delta t} \cdot e^{-\sigma t} \cdot C_{\delta}e^{\delta t} |x(t)| = |x(t)| \cdot C_{\delta} \cdot e^{-(\sigma - 2\delta)t} = g(t)$ sommabile!
Segue che la quantità nel limite $\frac{(e^{-ht}-1)}{-th}$ tende a $1$ e quindi rimane $\int_{-\infty}^{+\infty}-t \cdot x(t)e^{-st}dt$ e la tesi è verificata.
Grazie in anticipo a chi mi schiarirà le idee.
Risposte
Beh, c'è scritto: $sigma_0$ è l'ascissa di convergenza della trasformata.
Un ben noto teorema ti assicura che esiste un numero $sigma_0 in RR$ tale che l'integrale che definisce la T.d.L. di una funzione trasformabile converge nel semipiano $"Re"(s) > sigma_0$ e non converge nel semipiano $"Re"(s)< sigma_0$.
Per quanto riguarda il resto, il trucco della dimostrazione è mostrare che puoi scegliere un intorno di raggio $delta$ tutto contenuto nel semipiano di convergenza... E quella scelta lì per $delta$ ti assicura che se $"Re"(s) > sigma_0$ allora tutta la pallina di centro $s$ e raggio $delta$ sta ben dentro al semipiano di convergenza.
Un ben noto teorema ti assicura che esiste un numero $sigma_0 in RR$ tale che l'integrale che definisce la T.d.L. di una funzione trasformabile converge nel semipiano $"Re"(s) > sigma_0$ e non converge nel semipiano $"Re"(s)< sigma_0$.
Per quanto riguarda il resto, il trucco della dimostrazione è mostrare che puoi scegliere un intorno di raggio $delta$ tutto contenuto nel semipiano di convergenza... E quella scelta lì per $delta$ ti assicura che se $"Re"(s) > sigma_0$ allora tutta la pallina di centro $s$ e raggio $delta$ sta ben dentro al semipiano di convergenza.
Grazie mille!
Solo una cosa ancora non mi è chiara, quella costante $C_\delta$ nell'espressione $ t \le C_{\delta} \cdot e^{\delta t}$
E' banale quella disuguaglianza? Perché abbiamo bisogno di quella costante e non basta $e^{\delta t}$?
Solo una cosa ancora non mi è chiara, quella costante $C_\delta$ nell'espressione $ t \le C_{\delta} \cdot e^{\delta t}$
E' banale quella disuguaglianza? Perché abbiamo bisogno di quella costante e non basta $e^{\delta t}$?
Cosa accade se $delta = "numero piccolissimo"$?
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