Teorema della convergenza dominata in $ l^{\infty} $

[matteo_MC]

A lezione abbiamo dimostrato che la coppia ( $ l^p $ , $ d_p $ ) è uno spazio metrico per $ p\in[1,+\infty] $, con

• \( l^p=\{x_n\in\mathbb{R}|\sum_{n=1}^{+\infty} |x_n|^p<\infty\} \) (spazio delle successioni a p-esima potenza sommabile), \( d_p(x_n,y_n)= \sqrt

{\sum_{n=1}^{+\infty} |x_n-y_n|^p} \)

• \( l^{\infty} = \{ x_n\subset \mathbb{R} |\;x_n \;\mbox{limitata} \} \) , \( d_{\infty}(x_n,y_n) = \sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n-y_n| \)

e, sapendo che la convergenza di una successione \( \{ x_n\}\subset X \) in uno spazio metrico \( (X,d) \) ad un punto \( x_0\in X \) equivale a

\( \forall \epsilon >0\, \exists N_0\in\mathbb{N}: d(x_n,x_0)<\epsilon, \; \forall n\in\mathbb{N} \)

è stato successivamente enunciato e dimostrato il Teorema della convergenza dominata in \( l^p \), secondo cui

Dato \( p\in[1,+\infty) \) , e data una successione di successioni \( x^{(k)}\subset l^p \) tale che
1) \( \forall n\in\mathbb{N} \quad \exists x_n^{\infty} : \lim_{k\to \infty} x_n^{(k)} = x_n^{\infty} \) (convergenza componente per componente)
2) \( \exists y\in l^p : |x_n^{(k)}|\leq y_n, \quad \forall n\in\mathbb{N}, \;\forall k\in\mathbb{N} \) (dominanza con \( y \) indipendente da \( k \))
allora \( x^{(k)} \) converge a \( x^{\infty} \) in \( (l^p,d_p) \) .

Con un esempio si è dimostrato che le ipotesi di questo teorema non sono valide per \( l^{\infty} \) , ed è stato richiesto come esercizio quello di dimostrare il Teorema della convergenza dominata in \( l^{\infty} \), che nelle ipotesi è simile a quello in \( l^{p} \) con la differenza che al posto della condizione 2) sia richiesto che
2) \( \exists y\in l^{\infty}\; \mbox{infinitesima}: |x_n^{(k)}-x_n^{\infty}|\leq y_n, \quad \forall n\in\mathbb{N}, \; \forall k\in\mathbb{N} \)

Considerando che, grazie alla convergenza componente per componente,

\( \forall n\in\mathbb{N} \;\mbox{fissato}, \forall \epsilon>0 \;\exists k_{n,\epsilon} : |x_n^{(k)}-x_n^{\infty}|<\epsilon, \quad \forall k\geq k_{n,\epsilon} \)

mi verrebbe da dire che, fissato \( n \)

\( d_{\infty}(x_n^{(k)},x_n^{\infty}) = \sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n^{(k)}-x_n^{\infty}| \leq \epsilon, \quad \forall k \geq k_{n,\epsilon} \)

Premesso che potrei aver errato in quello che ho appena detto, non ho ben chiaro come interviene la seconda condizione all'interno della dimostrazione.

[gugo82]

Basta costruirsi un esempio semplice per capire che la 2 serve, eccome!

Chiama \(\mathbf{e}^k = (\delta_n^k)\) (con $delta_n^k$ di Kronecker) il generico elemento della base canonica di $l^oo$.
Chiaramente le successioni delle coordinate $n$-esime ($n$ fissato) hanno come termine generale $delta_n^k = \{(1, ", se " k=n), (0, ", altrimenti"):}$ e quindi sono tutte definitivamente nulle ed hanno limite $0$.
Ne viene che la successione nulla \(\mathbf{0}=(0,0,0,\ldots)\) è l'unica candidata ad essere il limite di \((\mathbf{e}^k)\) nel senso di $l^oo$.
Tuttavia, hai:
\[
d_\infty (\mathbf{e}^k, \mathbf{0}) = \| \mathbf{e}^k\|_\infty = 1
\]
e quindi la \((\mathbf{e}^k)\) non può convergere a \(\mathbf{0}\).

Ma si può fare peggio. Ad esempio, prendi:
\[
\mathbf{x}^{k} = k \mathbf{e}^k = (0,0,\ldots, 0,\underbrace{k}_{k-\text{esimo posto}}, 0,\ldots)\; ,
\]
cioè:
\[
\begin{align*}
\mathbf{x}^1 &= (1,0,0,0,0,\ldots)\\
\mathbf{x}^2 &= (0,2,0,0,0,\ldots)\\
\mathbf{x}^3 &= (0,0,3,0,0,\ldots)\\
\mathbf{x}^5 &= (0,0,0,4,0,\ldots)\\
&\dots
\end{align*}
\]
le successioni delle coordinate $n$-esime ($n$ fissato) hanno come termine generale $x_n^k = \{(n, ", se " k=n), (0, ", altrimenti"):}$ e quindi sono definitivamente nulle ed hanno limite $0$.
Ne viene, come sopra, che la successione nulla \(\mathbf{0}=(0,0,0,\ldots)\) è l'unico candidato possibile ad essere il limite di \((\mathbf{x}^k)\) nel senso di $l^oo$.
D'altra parte, però:
\[
d_\infty (\mathbf{x}^k , \mathbf{0}) = \|\mathbf{x}^k\|_\infty = k\to +\infty
\]
e quindi la \((\mathbf{x}^k)\) non può convergere a \(\mathbf{0}\).

[matteo_MC]

Nonostante credo di aver capito concettualmente gli esempi, non riesco a cogliere il legame tra le due ipotesi in termini generali all'interno della dimostrazione del Teorema.

Premettendo che potrei errare in quello che dico, da una parte, grazie alla convergenza componente per componente secondo cui

\( \forall n\in\mathbb{N}\;\exists x_n^{\infty}: \lim_{k\to\infty} x_n^{(k)}=x_n^{\infty} \),

potrei individuare un valore di \( n\in\mathbb{N} \) tale che

\( \forall \epsilon>0\;\exists k_{n,\epsilon}: \sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n^{(k)}-x_n^{\infty}|<\epsilon, \quad \forall k\geq k_{n,\epsilon} \)

D'altra parte, grazie alla seconda condizione che afferma

\( \exists y\in l^{\infty}:|x_n^{(k)}-x_n^{\infty}|\leq y_n, \quad \forall n\in\mathbb{N}, \forall k\in\mathbb{N} \)

potrei individuare quel valore di \( \bar{n}\in\mathbb{N} \) tale per cui

\( \sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n^{(k)}-x_n^{\infty}|\leq y_{\bar{n}}, \quad \forall k\in\mathbb{N} \)

Non starei maggiorando la quantità estremo superiore con due valori differenti? Purtroppo non riesco a cogliere il legame tra le due ipotesi.

[gugo82]

Vabbé, dai, è come la dimostrazione della convergenza uniforme...

Hai \(\lim_k \mathbf{x}^k = \mathbf{x}^\infty\) se e solo se:
\[
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \kappa \in \mathbb{N}:\quad \forall k > \kappa,\ \| \mathbf{x}^k - \mathbf{x}^\infty \|_\infty \leq \varepsilon \; ,
\]
ossia, passando alle coordinate:
\[
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \kappa \in \mathbb{N}:\quad \forall k > \kappa,\ \forall n \in \mathbb{N},\ |x_n^k - x_n^\infty| \leq \varepsilon
\]
e da qui si vede che hai sbagliato a (tra)scrivere l'indice della successione maggiorante nella 2, poiché la condizione giusta dovrebbe essere:
\[
\exists \mathbf{y} \in c_0:\quad \forall k, n \in \mathbb{N},\ |x_n^k - x_n^\infty| \leq y_k
\]
così dovresti trovare la strada.