Teorema dei residui, dubbio
Salve a tutti!
Ho un dubbio per quanto riguarda la valutazione esplicita dei residui di una funzione $f(z)$ nel caso in cui $z_{0}$ è un polo di ordine $n$. Nelle dispense di cui dispongo viene posta $f(z) = \frac{g(z)}{(z - z_{0})^n}$ con $g(z)$ olomorfa nell'intorno di $z_{0}$ e viene quindi sostituita nella definizione di residuo:
$ \Res_{z=z_{0}}f(z) = \frac{1}{2\pi\text{i}}\oint_{z}\frac{g(z)}{(z - z_{0})^n} dz$
Quindi utilizzando la rappresentazione di Cauchy per la derivata di ordine $k$ di una funzione olomorfa si sostituisce l'integrale nella formula del residuo ottenendo:
$ \frac{d^k g(z)}{dz^k} = \frac{k!}{2\pi\text{i}}\oint_{z} \frac{g(z')}{(z' - z)^(k+1)} dz' $
$ \Res_{z=z_{0}}f(z) = \frac{1}{(n - 1)!}\frac{d^(n-1) g(z)}{dz^(n-1)}|_{z=z_{0}} $
A questo punto viene esplicitato $g(z)$ ed è questo il passaggio che non mi è chiaro, in quanto la formula riportata è la seguente:
$ \Res_{z=z_{0}}f(z) = \frac{1}{(n - 1)!} \lim_{z \to z_{0}}[\frac{d^(n-1)}{dz^(n-1)}(z - z_{0})^n f(z)] $
Non sono riuscita a trovare nessuna spiegazione convincente alla comparsa di questo limite, qualcuno potrebbe spiegarmelo?
Grazie mille!!!
Ho un dubbio per quanto riguarda la valutazione esplicita dei residui di una funzione $f(z)$ nel caso in cui $z_{0}$ è un polo di ordine $n$. Nelle dispense di cui dispongo viene posta $f(z) = \frac{g(z)}{(z - z_{0})^n}$ con $g(z)$ olomorfa nell'intorno di $z_{0}$ e viene quindi sostituita nella definizione di residuo:
$ \Res_{z=z_{0}}f(z) = \frac{1}{2\pi\text{i}}\oint_{z}\frac{g(z)}{(z - z_{0})^n} dz$
Quindi utilizzando la rappresentazione di Cauchy per la derivata di ordine $k$ di una funzione olomorfa si sostituisce l'integrale nella formula del residuo ottenendo:
$ \frac{d^k g(z)}{dz^k} = \frac{k!}{2\pi\text{i}}\oint_{z} \frac{g(z')}{(z' - z)^(k+1)} dz' $
$ \Res_{z=z_{0}}f(z) = \frac{1}{(n - 1)!}\frac{d^(n-1) g(z)}{dz^(n-1)}|_{z=z_{0}} $
A questo punto viene esplicitato $g(z)$ ed è questo il passaggio che non mi è chiaro, in quanto la formula riportata è la seguente:
$ \Res_{z=z_{0}}f(z) = \frac{1}{(n - 1)!} \lim_{z \to z_{0}}[\frac{d^(n-1)}{dz^(n-1)}(z - z_{0})^n f(z)] $
Non sono riuscita a trovare nessuna spiegazione convincente alla comparsa di questo limite, qualcuno potrebbe spiegarmelo?
Grazie mille!!!
Risposte
"Niernen":
... ed è questo il passaggio che non mi è chiaro ...
Perché, a rigore, essendo:
$z=z_0$
un polo di $f(z)$, la funzione sottostante:
$(z-z_0)^nf(z)$
e le sue derivate non sono definite per:
$z=z_0$
Per esempio, la funzione sottostante:
$f(z)=(1-cos^2z)/z^4$
ha un polo del 2° ordine per $[z=0]$. Ebbene, senza la scrittura esplicita del limite:
$Res[f(z),0]=\frac{d}{dz}[z^2f(z)]_(z=0)=\frac{d}{dz}[(1-cos^2z)/z^2]_(z=0)=[(2z^2coszsinz-2z(1-cos^2z))/z^4]_(z=0)=0/0$
Lo stesso può dirsi di una funzione più semplice avente ancora un polo del 2° ordine per $[z=0]$:
$f(z)=sinz/z^3$
Anche in questo caso:
$Res[f(z),0]=\frac{d}{dz}[z^2f(z)]_(z=0)=\frac{d}{dz}[sinz/z]_(z=0)=[(zcosz-sinz)/z^2]_(z=0)=0/0$
Insomma, solo con la scrittura esplicita del limite, si ripristina il dovuto rigore.
Ho capito!! Grazie mille!! )
)
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