Sviluppo in serie di laurent in 1
Devo calcolare il residuo di $ e^(1/(z-1))/(z-2) $ in 1 . Dato che 1 è una singolarità essenziale ho cercato di fare lo sviluppo in serie di laurent ma non so cosa ho sbagliato $ e^(1/(z-1))/(z-2)=(sum_(n = 0)^(+oo) ((1/(z-1))^n)/(n!))/-(1-(z-1))=sum_(n = 0)^(+oo)(((1/(z-1))^n)/(n!)*(-(z-1)^n))=-sum_(n = 0)^(+oo) 1/(n!) $
Risposte
La tua funzione, chiamiamola $f(z)$, è il prodotto di due fattori: uno, $f_1(z) := e^(1/(z-1))$, avente una singolarità essenziale in $1$, l'altro, $f_2(z) := 1/(z-2)$, regolare in $1$.
Ne viene che $f(z)$ ha in $1$ una singolarità essenziale e che lo sviluppo di Laurent centrato in $1$ si trova calcolando il prodotto secondo Cauchy delle due serie di Laurent di $f_1(z)$ ed $f_2(z)$ centrate in $1$ (quella di $f_2(z)$ è evidentemente una serie di Taylor).
Per non complicare troppo in calcoli, potresti pensare di fare prima di tutto il cambiamento di variabile $z=w+1$, in modo da sfruttare gli sviluppi centrati in $0$ anziché in $1$.
Ne viene che $f(z)$ ha in $1$ una singolarità essenziale e che lo sviluppo di Laurent centrato in $1$ si trova calcolando il prodotto secondo Cauchy delle due serie di Laurent di $f_1(z)$ ed $f_2(z)$ centrate in $1$ (quella di $f_2(z)$ è evidentemente una serie di Taylor).
Per non complicare troppo in calcoli, potresti pensare di fare prima di tutto il cambiamento di variabile $z=w+1$, in modo da sfruttare gli sviluppi centrati in $0$ anziché in $1$.
Sono d'accordo con tutto quello che hai detto ma non ho capito perchè devo fare il cambio di variabile. La f_1(z) essendo un esponenziale dovrebbe essere sviluppabile in serie ovunque (o sbaglio?) mentre la f_2(z) per essere scritta come somma di serie geometrica convergente deve avere ragione compresa tra -1 e 1 e dato che q=(z-1) e sto sviluppando in un intorno di 1 dovrebbe andare.
"gugo82":
Per non complicare troppo in calcoli, potresti pensare di fare prima di tutto il cambiamento di variabile $z=w+1$, in modo da sfruttare gli sviluppi centrati in $0$ anziché in $1$.
Dopotutto, ti serve il residuo, non la serie di Laurent; quindi non c’è motivo di portarsi appresso $z-1$.
Ciao Foch29,
Innanzitutto benvenuto sul forum!
Non è che devi, era soltanto un (buon) consiglio...
Se preferisci puoi anche procedere senza cambiare variabile, ma senza l'orrore che purtroppo mi è toccato di vedere qui:
Non sai cosa hai sbagliato? Questo è un errore molto grave, in pratica hai "raccolto" a fattor comune la serie... Ti rendi conto? Invece la situazione è questa:
$ e^(1/(z-1))/(z-2)= e^(1/(z-1)) \cdot [- 1/(1 - (z - 1))] = \sum_{n = 0}^{+\infty} (1/(z-1))^n/(n!) \cdot [- \sum_{n = 0}^{+\infty} (z-1)^n] = $
$ = - \sum_{n = 0}^{+\infty} 1/(n!) (1/(z-1))^n \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty} (z-1)^n $
Da qui non puoi assolutamente procedere come hai fatto, perché fra le due serie c'è il simbolo di prodotto, mica quello di somma...
Consiglio: siccome ti serve solo il residuo, per fare la moltiplicazione fra le due serie potresti scrivere esplicitamente due o tre termini della prima e poi moltiplicarli per due o tre termini della seconda...
Innanzitutto benvenuto sul forum!
"Foch29":
non ho capito perchè devo fare il cambio di variabile.
Non è che devi, era soltanto un (buon) consiglio...
Se preferisci puoi anche procedere senza cambiare variabile, ma senza l'orrore che purtroppo mi è toccato di vedere qui:
"Foch29":
ho cercato di fare lo sviluppo in serie di laurent ma non so cosa ho sbagliato $ e^(1/(z-1))/(z-2)=(sum_(n = 0)^(+oo) ((1/(z-1))^n)/(n!))/-(1-(z-1))=sum_(n = 0)^(+oo)(((1/(z-1))^n)/(n!)*(-(z-1)^n))=-sum_(n = 0)^(+oo) 1/(n!)$
Non sai cosa hai sbagliato? Questo è un errore molto grave, in pratica hai "raccolto" a fattor comune la serie... Ti rendi conto? Invece la situazione è questa:
$ e^(1/(z-1))/(z-2)= e^(1/(z-1)) \cdot [- 1/(1 - (z - 1))] = \sum_{n = 0}^{+\infty} (1/(z-1))^n/(n!) \cdot [- \sum_{n = 0}^{+\infty} (z-1)^n] = $
$ = - \sum_{n = 0}^{+\infty} 1/(n!) (1/(z-1))^n \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty} (z-1)^n $
Da qui non puoi assolutamente procedere come hai fatto, perché fra le due serie c'è il simbolo di prodotto, mica quello di somma...
Consiglio: siccome ti serve solo il residuo, per fare la moltiplicazione fra le due serie potresti scrivere esplicitamente due o tre termini della prima e poi moltiplicarli per due o tre termini della seconda...
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