Sviluppo in serie di Laurent
Esercizio: Si consideri la funzione : $f(z)=z/(1+z^3)$
a)Esprimere la funzione f come SERIE DI POTENZE POSITIVE
e specificare il cerchio di convergenza
b)Esprimere la funzione f come SERIE DI POTENZE NEGATIVE
e specificare il cerchio di convergenza
PROBLEMA: non ho capito se
1°possibilità: bisogna assumere come centro dello sviluppo: l'origine
oppure
2° possibilità:il centro è a nostra discrezione .
Ho deciso di seguire la 2°via.
La mia idea è stata quella di studiarmi le singolarità della funzione , ottenendo:
A questo punto , intuitivamente ho dedotto che:
- il cerchio di convergenza nel quale vale lo sviluppo con sole potenze positive è un cerchio di centro : $z=1/2$ e raggio $rho=sqrt3/2$
(in modo tale da non inglobare le due crocette verticali)
- il cerchio di convergenza nel quale vale lo sviluppo con potenze negative è:
un cerchio di centro: $z=-1$ e raggio :1 oppure 1.5
a)Esprimere la funzione f come SERIE DI POTENZE POSITIVE
e specificare il cerchio di convergenza
b)Esprimere la funzione f come SERIE DI POTENZE NEGATIVE
e specificare il cerchio di convergenza
PROBLEMA: non ho capito se
1°possibilità: bisogna assumere come centro dello sviluppo: l'origine
oppure
2° possibilità:il centro è a nostra discrezione .
Ho deciso di seguire la 2°via.
La mia idea è stata quella di studiarmi le singolarità della funzione , ottenendo:
A questo punto , intuitivamente ho dedotto che:
- il cerchio di convergenza nel quale vale lo sviluppo con sole potenze positive è un cerchio di centro : $z=1/2$ e raggio $rho=sqrt3/2$
(in modo tale da non inglobare le due crocette verticali)
- il cerchio di convergenza nel quale vale lo sviluppo con potenze negative è:
un cerchio di centro: $z=-1$ e raggio :1 oppure 1.5
Risposte
Ciao CallistoBello,
Beh, lo sviluppo in $z_0 = 0 $ è semplice, basta considerare che si ha:
$ 1/(1 + z^3) = 1/(1 -(- z^3)) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (- z^3)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (- 1)^n z^{3n} $
Quindi si ha:
$f(z) = z/(1 + z^3) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (- 1)^n z^{3n + 1} = z - z^4 + z^7 - z^10 + ... $
per $|-z^3| < 1 \iff |z| < 1 $
Beh, lo sviluppo in $z_0 = 0 $ è semplice, basta considerare che si ha:
$ 1/(1 + z^3) = 1/(1 -(- z^3)) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (- z^3)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (- 1)^n z^{3n} $
Quindi si ha:
$f(z) = z/(1 + z^3) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (- 1)^n z^{3n + 1} = z - z^4 + z^7 - z^10 + ... $
per $|-z^3| < 1 \iff |z| < 1 $
Si, sono d'accordo.
Ma così facendo si avrebbe che :
nel cerchio di centro: l'origine e raggio:1 "cade una singolarità" nello specifico "il Punto di coordinate $(1/2,sqrt3/2)$". Ottenendo così un dominio in cui una funzione è analitica ma non olomorfa (ASSURDO)
Per questa ragione ho scartato apriori questa risoluzione.
Ma così facendo si avrebbe che :
nel cerchio di centro: l'origine e raggio:1 "cade una singolarità" nello specifico "il Punto di coordinate $(1/2,sqrt3/2)$". Ottenendo così un dominio in cui una funzione è analitica ma non olomorfa (ASSURDO)
Per questa ragione ho scartato apriori questa risoluzione.
Attenzione però che la convergenza della serie si ha per $|z| < 1 $, non per $ |z| = 1 $, mentre per il punto che hai citato si ha:
$|z| = |x + iy| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (\sqrt3/2)^2} = \sqrt{1/4 + 3/4} = 1 $
$|z| = |x + iy| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (\sqrt3/2)^2} = \sqrt{1/4 + 3/4} = 1 $
Ah, quel Punto sta proprio sul BORDO del Cerchio di Convergenza.
Ok, quindi ricapitolando:
- quando non è specificato, assumo che il centro dello sviluppo sia $z_0=0$
a) Per esprimere quella funzione come Serie di potenze di esponente positivo, mi basta:
-Riscrivere quella funzione come SOMMA di una Serie geometrica di ragione z
-il suo cerchio di convergenza sarà di raggio $|z|=1$, Circonferenza esclusa
b)Per esprimere quella funzione come Serie di potenze di esponente negativo ,mi basta:
-Riscrivere quella funzione come una Serie geometrica di ragione : 1/z (ovvero ottenere una Serie di termine generale "il reciproco" del termine generale precedente)
$z/(1+z^3)=z/(z^3(1+1/z^3))=z^-2 1/(1-(-1/z^3))=z^-2 sum_(n=0)^(+oo) (-1/z^3)^n= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n /z^(3n+2) $
-il suo insieme di convergenza sarà descritto dall'equazione $|z|>1$ (ovvero tutti i punti che stanno FUORI dal cerchio)
Corretto?
Ok, quindi ricapitolando:
- quando non è specificato, assumo che il centro dello sviluppo sia $z_0=0$
a) Per esprimere quella funzione come Serie di potenze di esponente positivo, mi basta:
-Riscrivere quella funzione come SOMMA di una Serie geometrica di ragione z
-il suo cerchio di convergenza sarà di raggio $|z|=1$, Circonferenza esclusa
b)Per esprimere quella funzione come Serie di potenze di esponente negativo ,mi basta:
-Riscrivere quella funzione come una Serie geometrica di ragione : 1/z (ovvero ottenere una Serie di termine generale "il reciproco" del termine generale precedente)
$z/(1+z^3)=z/(z^3(1+1/z^3))=z^-2 1/(1-(-1/z^3))=z^-2 sum_(n=0)^(+oo) (-1/z^3)^n= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n /z^(3n+2) $
-il suo insieme di convergenza sarà descritto dall'equazione $|z|>1$ (ovvero tutti i punti che stanno FUORI dal cerchio)
Corretto?
Corretto. 
Grazie mille =)
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