Sviluppo in serie di Laurent

[tgrammer]

salve ragazzi, lo sviluppo in serie di Laurent della funzione $ sen(1/(1+z^2)) $ . avevo operato con la sostituzione $ t=1/(1+z^2) $ per poi sviluppare $ sen(t) $ ma non è giusto. non so in che altro modo procedere

[pilloeffe]

Ciao tgrammer,

Immagino sia lo sviluppo in serie di Laurent intorno a $z = \infty $ per cui scriverei

$ sin(1/(1+z^2)) ~~ 1/(1+z^2) = 1/z^2 1/(1 + 1/z^2) = 1/z^2 \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1/z^2)^n = 1/z^2 \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n/z^{2n} $

[tgrammer]

grazie mille! la risposta sarebbe cambiata se fosse stata centrata in $ z=0 $ ?

[pilloeffe]

Eh, fa te...
Tanto per cominciare non sarebbe stata una serie di Laurent, ma una serie di Taylor con termine iniziale $f(0) = sin(1) $

[tgrammer]

cioè in pratica, il procedimento è questo:
quando la serie deve essere centrata in $ z=oo $ devo espandere per grandi z, quindi solitamente raccolto il fattore z più grande. quando invece deve essere centrata in $ z=0 $ è una serie di taylor, non di laurent, perchè non c'è la parte singolare. è ancora valida l'approssimazione $ sen(1/(1+z^2))~~ (1/(1+z^2)) $ , giusto? il risultato dovrebbe essere $ sen(1)-z^2cos(1)+... $ ma come faccio a capire a priori che quello che devo fare è uno sviluppo di taylor e non di laurent?

scusa la confusione ma si può dire che sto studiando quasi da autodidatta

[pilloeffe]

"tgrammer":giusto?

Beh, no...

$f(0) = sin(1) $
$f'(z) = - 2z cos(1/(1 + z^2))/(1 + z^2)^2 \implies f'(0) = 0 $
$f''(z) = \frac{(6z^4 + 4z^2 - 2)cos(1/(1 + z^2)) - 4z^2 sin(1/(1 + z^2))}{(1 + z^2)^4} \implies f''(0) = - 2 cos(1) $
$f'''(0) = 0 $
$ f^{(4)}(0) = 24 cos(1) - 12 sin(1) $

Quindi lo sviluppo in serie @ $z = 0 $ è il seguente:

$f(z) = sin(1) - 2 cos(1) z^2 + [cos(1) - sin(1)/2] z^4 + o(z^6) $

Quanto al resto, dai un'occhiata qui, giusto in cima al forum Analisi superiore...

[tgrammer]

grazie mille per l'aiuto!